Resolva as equações, considere que x \in[0,2 \pi) : Sugestão: Quando necessário utilize as fórmulas de \operatorname{sen}(2 x) e de \cos (2 x).
\cos ^{2} x+2 \operatorname{sen} x \cos x-\operatorname{sen}^{2} x=0

Passo 1

O que o enunciado pede e o que nos foi dado.
  • Pede: resolver a equação trigonométrica \cos^{2}x + 2\operatorname{sen} x\cos x - \operatorname{sen}^{2}x = 0 no intervalo [0,2\pi).
  • Informação do enunciado: x varia em [0,2\pi) e podemos usar as fórmulas de \operatorname{sen}(2x) e \cos(2x).

Passo 2

Relembrando as identidades trigonométricas fundamentais que vamos usar (essa é a “aula” que você pediu, bem mastigada).
  • A identidade da função seno do dobro do ângulo:
\operatorname{sen}(2x)=2\operatorname{sen} x\cos x.
Isto significa que sempre que aparecer 2\operatorname{sen} x\cos x podemos substituí‑lo por \operatorname{sen}(2x).
  • A identidade da função cosseno do dobro do ângulo:
\cos(2x)=\cos^{2}x-\operatorname{sen}^{2}x.
Isto significa que a diferença entre \cos^{2}x e \operatorname{sen}^{2}x é \cos(2x).
Essas identidades são muito úteis para transformar expressões quadráticas em \operatorname{sen} x e \cos x numa função de 2x, que costuma simplificar a resolução.

Passo 3

Aplicando as identidades à equação dada.
A equação é
\cos^{2}x + 2\operatorname{sen} x\cos x - \operatorname{sen}^{2}x = 0.
Agrupando os termos \cos^{2}x - \operatorname{sen}^{2}x e reconhecendo o termo 2\operatorname{sen} x\cos x, substituímos pelas identidades:
\underbrace{\cos^{2}x - \operatorname{sen}^{2}x}_{\cos(2x)} \;+\; \underbrace{2\operatorname{sen} x\cos x}_{\operatorname{sen}(2x)} \;=\; 0.
Logo obtemos a equação equivalente
\cos(2x) + \operatorname{sen}(2x) = 0.

Passo 4

Isolando uma razão tangente para resolver.
A equação \cos(2x)+\operatorname{sen}(2x)=0 pode ser escrita como
\operatorname{sen}(2x) = -\cos(2x).
Se \cos(2x)\neq 0, dividindo ambos os lados por \cos(2x)
\tan(2x) = -1.
(Lembre que \tan\theta=\dfrac{\operatorname{sen}\theta}{\cos\theta}. Se \cos(2x)=0 vamos checar esse caso separadamente.)

Passo 5

Resolver \tan(2x)=-1.
A tangente vale -1 nos ângulos congruentes a -\dfrac{\pi}{4} (no ciclo principal) mais múltiplos de \pi. Assim os valores de 2x satisfazendo a equação são
2x = -\frac{\pi}{4} + k\pi,\qquad k\in\mathbb{Z}.
Podemos também escrever uma forma equivalente, adicionando \pi: por exemplo
2x = \frac{3\pi}{4} + k\pi,\qquad k\in\mathbb{Z},
que gera a mesma família de soluções. Dividindo por 2 obtemos
x = -\frac{\pi}{8} + \frac{k\pi}{2}\qquad\text{ou}\qquad x = \frac{3\pi}{8} + \frac{k\pi}{2}.

Passo 6

Escolher os valores de k que dão x\in[0,2\pi).
Use a forma x=\dfrac{3\pi}{8}+\dfrac{k\pi}{2} (fica mais direto para gerar valores positivos). Vamos testar k=0,1,2,3,\ldots até sair do intervalo [0,2\pi).
  • Para k=0:
x=\frac{3\pi}{8}.
  • Para k=1:
x=\frac{3\pi}{8}+\frac{\pi}{2}=\frac{3\pi+4\pi}{8}=\frac{7\pi}{8}.
  • Para k=2:
x=\frac{3\pi}{8}+\pi=\frac{3\pi+8\pi}{8}=\frac{11\pi}{8}.
  • Para k=3:
x=\frac{3\pi}{8}+\frac{3\pi}{2}=\frac{3\pi+12\pi}{8}=\frac{15\pi}{8}.
  • Para k=4:
x=\frac{3\pi}{8}+2\pi=\frac{3\pi+16\pi}{8}=\frac{19\pi}{8}>2\pi,
ou seja já sai do intervalo. Portanto os valores válidos obtidos por essa família são
x=\frac{3\pi}{8},\\ \frac{7\pi}{8},\\ \frac{11\pi}{8},\\ \frac{15\pi}{8}.

Passo 7

Verificação do caso \cos(2x)=0 (não perder soluções por divisão).
Se \cos(2x)=0 então a equação \cos(2x)+\operatorname{sen}(2x)=0 fica \operatorname{sen}(2x)=0. Mas não existe t tal que simultaneamente \cos t=0 e \operatorname{sen} t=0. Logo não há soluções extras provenientes do caso \cos(2x)=0. Assim as soluções encontradas no passo anterior são todas as soluções no intervalo.

Resposta

\dfrac{3\pi}{8}
\dfrac{7\pi}{8}
\dfrac{11\pi}{8}
\dfrac{15\pi}{8}

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