Resolva as equações, considere que x \in[0,2 \pi) : Sugestão: Quando necessário utilize as fórmulas de \operatorname{sen}(2 x) e de \cos (2 x). \cos ^{2} x+2 \operatorname{sen} x \cos x-\operatorname{sen}^{2} x=0
Passo 1
O que o enunciado pede e o que nos foi dado.
Pede: resolver a equação trigonométrica \cos^{2}x + 2\operatorname{sen} x\cos x - \operatorname{sen}^{2}x = 0 no intervalo [0,2\pi).
Informação do enunciado: x varia em [0,2\pi) e podemos usar as fórmulas de \operatorname{sen}(2x) e \cos(2x).
Passo 2
Relembrando as identidades trigonométricas fundamentais que vamos usar (essa é a “aula” que você pediu, bem mastigada).
Isto significa que sempre que aparecer 2\operatorname{sen} x\cos x podemos substituí‑lo por \operatorname{sen}(2x).
A identidade da função cosseno do dobro do ângulo:
\cos(2x)=\cos^{2}x-\operatorname{sen}^{2}x.
Isto significa que a diferença entre \cos^{2}x e \operatorname{sen}^{2}x é \cos(2x).
Essas identidades são muito úteis para transformar expressões quadráticas em \operatorname{sen} x e \cos x numa função de 2x, que costuma simplificar a resolução.
Passo 3
Aplicando as identidades à equação dada.
A equação é
\cos^{2}x + 2\operatorname{sen} x\cos x - \operatorname{sen}^{2}x = 0.
Agrupando os termos \cos^{2}x - \operatorname{sen}^{2}x e reconhecendo o termo 2\operatorname{sen} x\cos x, substituímos pelas identidades:
A equação \cos(2x)+\operatorname{sen}(2x)=0 pode ser escrita como
\operatorname{sen}(2x) = -\cos(2x).
Se \cos(2x)\neq 0, dividindo ambos os lados por \cos(2x) dá
\tan(2x) = -1.
(Lembre que \tan\theta=\dfrac{\operatorname{sen}\theta}{\cos\theta}. Se \cos(2x)=0 vamos checar esse caso separadamente.)
Passo 5
Resolver \tan(2x)=-1.
A tangente vale -1 nos ângulos congruentes a -\dfrac{\pi}{4} (no ciclo principal) mais múltiplos de \pi. Assim os valores de 2x satisfazendo a equação são
2x = -\frac{\pi}{4} + k\pi,\qquad k\in\mathbb{Z}.
Podemos também escrever uma forma equivalente, adicionando \pi: por exemplo
2x = \frac{3\pi}{4} + k\pi,\qquad k\in\mathbb{Z},
que gera a mesma família de soluções. Dividindo por 2 obtemos
x = -\frac{\pi}{8} + \frac{k\pi}{2}\qquad\text{ou}\qquad x = \frac{3\pi}{8} + \frac{k\pi}{2}.
Passo 6
Escolher os valores de k que dão x\in[0,2\pi).
Use a forma x=\dfrac{3\pi}{8}+\dfrac{k\pi}{2} (fica mais direto para gerar valores positivos). Vamos testar k=0,1,2,3,\ldots até sair do intervalo [0,2\pi).
Verificação do caso \cos(2x)=0 (não perder soluções por divisão).
Se \cos(2x)=0 então a equação \cos(2x)+\operatorname{sen}(2x)=0 fica \operatorname{sen}(2x)=0. Mas não existe t tal que simultaneamente \cos t=0 e \operatorname{sen} t=0. Logo não há soluções extras provenientes do caso \cos(2x)=0. Assim as soluções encontradas no passo anterior são todas as soluções no intervalo.