Resolva as equações, considere que
: Sugestão: Quando necessário utilize as fórmulas de
e de
.
Passo 1
O enunciado pede para resolver a equação trigonométrica no intervalo
. Informações dadas:
- Equação:
- Domínio das soluções:
.
O que precisa ser encontrado: todos os valores de
em
que satisfazem a equação.
Passo 2
Transformar a equação em uma equação polinomial usando a substituição
. Isso é útil porque a equação envolve apenas potências e termos lineares de
. Substituindo temos:
Agora passamos tudo para um lado para obter uma quadrática padrão:
Aqui
representa
. Vamos resolver essa equação quadrática.
Passo 3
Resolver a quadrática usando a fórmula de Bhaskara. Para
os coeficientes são
,
,
. A fórmula das raízes é
Calcular o discriminante:
Portanto
. Substituindo na fórmula:
Isso dá duas raízes:
Passo 4
Interpretar as raízes em termos de
. Lembrando que
só pode assumir valores em
:
-
é admissível. -
é impossível (fora do intervalo ), então descartamos essa solução.
Portanto precisamos resolver apenas
Passo 5
Encontrar todas as soluções de
em
. A função seno tem as seguintes propriedades úteis:
- Se
com , as soluções gerais são e (para inteiros ). Aqui usemos somente o intervalo principal.
Aplicando comobtemos, no intervalo ,
Essas duas soluções são distintas e pertencem a
porque
.
Passo 6
Verificação rápida (substituição direta com
):
logo a igualdade é satisfeita. A outra raiz da quadrática foi rejeitada por ser impossível para seno.