Resolva as equações, considere que x \in[0,2 \pi) : Sugestão: Quando necessário utilize as fórmulas de \operatorname{sen}(2 x) e de \cos (2 x).
4 \operatorname{sen}^{2} x+7 \operatorname{sen} x=2

Passo 1

O enunciado pede para resolver a equação trigonométrica no intervalo [0,2\pi). Informações dadas:
  • Equação: 4\operatorname{sen}^{2}x+7\operatorname{sen}x=2.
  • Domínio das soluções: x\in[0,2\pi).
O que precisa ser encontrado: todos os valores de x em [0,2\pi) que satisfazem a equação.

Passo 2

Transformar a equação em uma equação polinomial usando a substituição \,s=\operatorname{sen}x\,. Isso é útil porque a equação envolve apenas potências e termos lineares de \operatorname{sen}x. Substituindo temos:
4s^{2}+7s=2.
Agora passamos tudo para um lado para obter uma quadrática padrão:
4s^{2}+7s-2=0.
Aqui s representa \operatorname{sen}x. Vamos resolver essa equação quadrática.

Passo 3

Resolver a quadrática usando a fórmula de Bhaskara. Para \,4s^{2}+7s-2=0\, os coeficientes são a=4, b=7, c=-2. A fórmula das raízes é
s=\frac{-b\pm\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.
Calcular o discriminante:
\Delta=b^{2}-4ac=7^{2}-4\cdot4\cdot(-2)=49+32=81.
Portanto \sqrt{\Delta}=9. Substituindo na fórmula:
s=\frac{-7\pm9}{2\cdot4}=\frac{-7\pm9}{8}.
Isso dá duas raízes:
s_{1}=\frac{-7+9}{8}=\frac{2}{8}=\frac{1}{4}, \qquad s_{2}=\frac{-7-9}{8}=\frac{-16}{8}=-2.

Passo 4

Interpretar as raízes em termos de \operatorname{sen}x. Lembrando que \operatorname{sen}x só pode assumir valores em [-1,1]:
  • \operatorname{sen}x=\dfrac{1}{4} é admissível.
  • \operatorname{sen}x=-2 é impossível (fora do intervalo [-1,1]), então descartamos essa solução.
Portanto precisamos resolver apenas
\operatorname{sen}x=\frac{1}{4}.

Passo 5

Encontrar todas as soluções de \operatorname{sen}x=\dfrac{1}{4} em [0,2\pi). A função seno tem as seguintes propriedades úteis:
  • Se \operatorname{sen}\alpha = k com k\in[-1,1], as soluções gerais são \alpha_{1}=\arcsin(k)+2k\pi e \alpha_{2}=\pi-\arcsin(k)+2k\pi (para inteiros k). Aqui usemos somente o intervalo principal.
    Aplicando com k=\dfrac{1}{4} obtemos, no intervalo [0,2\pi),
x_{1}=\arcsin\!\left(\frac{1}{4}\right), \qquad x_{2}=\pi-\arcsin\!\left(\frac{1}{4}\right).
Essas duas soluções são distintas e pertencem a [0,2\pi) porque \arcsin\!\left(\tfrac{1}{4}\right)\in\left(0,\tfrac{\pi}{2}\right).

Passo 6

Verificação rápida (substituição direta com s=\dfrac{1}{4}):
4\left(\frac{1}{4}\right)^{2}+7\left(\frac{1}{4}\right) =4\cdot\frac{1}{16}+\frac{7}{4} =\frac{1}{4}+\frac{7}{4}=\frac{8}{4}=2,
logo a igualdade é satisfeita. A outra raiz da quadrática foi rejeitada por ser impossível para seno.

Resposta

\displaystyle x=\arcsin\!\left(\frac{1}{4}\right)
\displaystyle x=\pi-\arcsin\!\left(\frac{1}{4}\right)

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