Resolva as equações diferenciais abaixo utilizando o método da variação dos parâmetros.
y^{\prime \prime}-7 y^{\prime}+12 y=-e^{4 x}

Passo 1

O enunciado pede para resolver a equação diferencial de segunda ordem não homogênea
y'' - 7y' + 12y = -e^{4x}
usando o método da variação de parâmetros. Vamos precisar primeiro da solução geral da equação homogênea associada e depois construir uma solução particular via variação de parâmetros.

Passo 2

Começamos pela equação homogênea
y'' - 7y' + 12y = 0
cuja equação característica é
r^2 - 7r + 12 = 0.
Resolvendo, fatoramos em (r-3)(r-4)=0, obtendo r=3 e r=4. Logo, a solução geral da homogênea é
y_h(x) = C_1 e^{3x} + C_2 e^{4x}.

Passo 3

Para aplicar variação de parâmetros escolhemos
y_1(x) = e^{3x}, \quad y_2(x) = e^{4x}.
O wronskiano é
W(x) = \begin{vmatrix} y_1 & y_2 \\[6pt] y_1' & y_2' \end{vmatrix} = e^{3x}\cdot(4e^{4x}) - (3e^{3x})\cdot e^{4x} = e^{7x}.]

Passo 4

A fórmula de variação de parâmetros dá uma solução particular
y_p = -y_1 \int \frac{y_2\,g}{W}\,dx + y_2 \int \frac{y_1\,g}{W}\,dx,
onde g(x)=-e^{4x}. Calculamos os dois integrais:
1.
\int \frac{y_2\,g}{W}\,dx = \int \frac{e^{4x}\,(-e^{4x})}{e^{7x}}\,dx = \int -e^{x}\,dx = -e^{x}.
Logo
-y_1 \int \frac{y_2\,g}{W}\,dx = -e^{3x}\cdot(-e^{x}) = e^{4x}.
2.
\int \frac{y_1\,g}{W}\,dx = \int \frac{e^{3x}\,(-e^{4x})}{e^{7x}}\,dx = \int -1\,dx = -x.
Logo
y_2 \int \frac{y_1\,g}{W}\,dx = e^{4x}\cdot(-x) = -x\,e^{4x}.
Somando, obtemos
y_p(x) = e^{4x} - x\,e^{4x} = e^{4x}(1 - x).

Passo 5

A solução geral da equação não homogênea é
y(x) = y_h(x) + y_p(x) = C_1 e^{3x} + C_2 e^{4x} + e^{4x}(1 - x).

Resposta

y(x) = C_1 e^{3x} + C_2 e^{4x} + e^{4x}(1 - x).

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