Usando Laplace, resolva.
y^{\prime \prime}(t)+y(t)=\cos (t)
y^{\prime}(0)=y(0)=0

Passo 1

O enunciado pede para resolver a EDO
y''(t) + y(t) = \cos(t)
com condições iniciais y(0)=0 e y'(0)=0, usando transformada de Laplace. Vamos usar as propriedades
\mathcal L\{y'(t)\} = sY(s)-y(0) e
\mathcal L\{y''(t)\} = s^2Y(s)-s\,y(0)-y'(0),
além de \mathcal L\{\cos(t)\} = \tfrac{s}{s^2+1}.

Passo 2

Aplicando a transformada de Laplace em ambos os lados de
y''(t)+y(t)=\cos(t)
obtemos
\mathcal L\{y''\} + \mathcal L\{y\} = \mathcal L\{\cos(t)\}
ou seja
\bigl(s^2Y(s)-s\,y(0)-y'(0)\bigr) + Y(s) = \frac{s}{s^2+1}.
Como y(0)=0 e y'(0)=0, isso simplifica para
(s^2+1)\,Y(s) = \frac{s}{s^2+1}.

Passo 3

Isolando Y(s) temos
Y(s) = \frac{s}{(s^2+1)^2}.

Passo 4

Para inverter a transformada, lembramos que
\mathcal L\{t\sin(t)\} = \frac{2s}{(s^2+1)^2}.
Logo
\frac{s}{(s^2+1)^2} = \frac12\,\frac{2s}{(s^2+1)^2}
é a transformada de \tfrac12\,t\sin(t). Portanto
y(t) = \frac12\,t\sin(t).

Resposta

y(t)=\frac12\,t\sin(t).

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