Resolva as equações diferenciais abaixo utilizando a Transformada de Laplace e a respectiva inversa. Sugestão: Neste exercício atente-se para a relação entre a localização dos polos da Transformada de Laplace e o comportamento do sistema.
, com
e
Passo 1
O enunciado pede para resolver a equação diferencial linear de segunda ordem com condições iniciais, usando a Transformada de Laplace e sua inversa. Dados e pedido:
com as condições iniciais
e
.
O objetivo é encontrar explicitamente para
aplicando a Transformada de Laplace e interpretando o papel dos polos obtidos.
O objetivo é encontrar explicitamente
Passo 2
Vamos lembrar as fórmulas fundamentais da Transformada de Laplace que vamos usar (explicando cada símbolo):
- Se
tem transformada , então a transformada da derivada primeira é
onde
é a variável complexa da transformada e
é o valor inicial.
- A transformada da derivada segunda é
Essas fórmulas vêm da definição integral da Transformada de Laplace e usam integração por partes; servem para incorporar as condições iniciais diretamente no domínio
.
Passo 3
Aplique a Transformada de Laplace em ambos os lados da equação diferencial. Denotando
, obtemos:
Substituindo as fórmulas das derivadas e as condições iniciais
,
, temos:
Agora substituímos os valores numéricos de
e
:
Passo 4
Desenvolvendo os parênteses e agrupando os termos que contêm
:
Agrupando
:
Isolando
obtemos:
Fatorando um
no numerador e o denominador para ver as raízes:
O denominador fatora como
logo
Passo 5
Para inverter a Transformada de Laplace, fazemos decomposição em frações parciais do tipo
onde
e
são constantes a determinar. Essa forma é útil porque sabemos as transformadas inversas padrão de
.
Passo 6
Multiplicando ambos os lados por
obtemos a identidade:
Expandindo o lado direito:
Comparando coeficientes do polinômio em
, igualamos os coeficientes:
- Coeficiente de
: . - Termo constante:
.
Agora resolvemos esse sistema linear. Da primeira equação. Substituindo na segunda:
Logo
e portanto
. Substituindo em
:
Passo 7
Portanto a decomposição é
Antes de aplicar a inversa, ajuste a primeira fração para a forma padrão
. Note que
, então
Passo 8
Agora usamos as transformadas inversas padrão:
Aplicando termo a termo:
- Para
a inversa é . - Para
a inversa é .
Somando os termos, obtemos a solução no tempo:
Podemos checar rapidamente as condições iniciais:
(ok) e
(ok).
Passo 9
Interpretação física / comportamento a partir dos polos (ajuda para a prova, como o professor sugeriu):
- Os polos de
são as raízes do denominador: e . Ambos têm parte real negativa, portanto o sistema é estável e todas as soluções exponencialmente decaem para zero quando . - Como os polos são reais e distintos, não há oscilações — a resposta é soma de exponenciais reais (regime superamortecido / sem oscilações).
- O polo mais próximo da origem é
(menos negativo), ele domina o decaimento a longo prazo: o termo decai mais lentamente que , então para tempos grandes a solução se comporta aproximadamente como . - Regra prática: polos com
→ decaimento; → oscilações permanentes (marginalmente estável se simples); → crescimento (instável). Pausa mental: isso é muito útil na prova para deduzir comportamento sem calcular a solução completa.