Resolva as equações diferenciais abaixo utilizando a Transformada de Laplace e a respectiva inversa. Sugestão: Neste exercício atente-se para a relação entre a localização dos polos da Transformada de Laplace e o comportamento do sistema.
2 \ddot{x}(t)+7 \dot{x}(t)+3 x(t)=0, com x(0)=3 e \dot{x}(0)=0

Passo 1

O enunciado pede para resolver a equação diferencial linear de segunda ordem com condições iniciais, usando a Transformada de Laplace e sua inversa. Dados e pedido:
2\ddot{x}(t)+7\dot{x}(t)+3x(t)=0,
com as condições iniciais \,x(0)=3 e \dot{x}(0)=0.
O objetivo é encontrar explicitamente x(t) para t\ge0 aplicando a Transformada de Laplace e interpretando o papel dos polos obtidos.

Passo 2

Vamos lembrar as fórmulas fundamentais da Transformada de Laplace que vamos usar (explicando cada símbolo):
  • Se x(t) tem transformada \mathcal{L}\{x(t)\}=X(s), então a transformada da derivada primeira é
\mathcal{L}\{\dot{x}(t)\}=sX(s)-x(0),
onde s é a variável complexa da transformada e x(0) é o valor inicial.
  • A transformada da derivada segunda é
\mathcal{L}\{\ddot{x}(t)\}=s^{2}X(s)-s x(0)-\dot{x}(0).
Essas fórmulas vêm da definição integral da Transformada de Laplace e usam integração por partes; servem para incorporar as condições iniciais diretamente no domínio s.

Passo 3

Aplique a Transformada de Laplace em ambos os lados da equação diferencial. Denotando \mathcal{L}\{x(t)\}=X(s), obtemos:
2\mathcal{L}\{\ddot{x}\}+7\mathcal{L}\{\dot{x}\}+3\mathcal{L}\{x\}=0.
Substituindo as fórmulas das derivadas e as condições iniciais \,x(0)=3, \dot{x}(0)=0, temos:
2\big(s^{2}X(s)-s x(0)-\dot{x}(0)\big)+7\big(sX(s)-x(0)\big)+3X(s)=0.
Agora substituímos os valores numéricos de x(0) e \dot{x}(0):
2\big(s^{2}X(s)-3s-0\big)+7\big(sX(s)-3\big)+3X(s)=0.

Passo 4

Desenvolvendo os parênteses e agrupando os termos que contêm X(s):
2s^{2}X(s)-6s+7sX(s)-21+3X(s)=0.
Agrupando X(s):
X(s)\big(2s^{2}+7s+3\big)-6s-21=0.
Isolando X(s) obtemos:
X(s)=\frac{6s+21}{2s^{2}+7s+3}.
Fatorando um 3 no numerador e o denominador para ver as raízes:
X(s)=\frac{3(2s+7)}{2s^{2}+7s+3}.
O denominador fatora como
2s^{2}+7s+3=(2s+1)(s+3),
logo
X(s)=\frac{3(2s+7)}{(2s+1)(s+3)}.

Passo 5

Para inverter a Transformada de Laplace, fazemos decomposição em frações parciais do tipo
\frac{3(2s+7)}{(2s+1)(s+3)}=\frac{A}{2s+1}+\frac{B}{s+3},
onde A e B são constantes a determinar. Essa forma é útil porque sabemos as transformadas inversas padrão de 1/(s+a).

Passo 6

Multiplicando ambos os lados por (2s+1)(s+3) obtemos a identidade:
3(2s+7)=A(s+3)+B(2s+1).
Expandindo o lado direito:
3(2s+7)=As+3A+2Bs+B = (A+2B)s + (3A+B).
Comparando coeficientes do polinômio em s, igualamos os coeficientes:
  • Coeficiente de s: 6 = A + 2B.
  • Termo constante: 21 = 3A + B.
    Agora resolvemos esse sistema linear. Da primeira equação A=6-2B. Substituindo na segunda:
21=3(6-2B)+B=18-6B+B=18-5B.
Logo -5B=3 e portanto B=-\tfrac{3}{5}. Substituindo em A=6-2B:
A=6-2\left(-\tfrac{3}{5}\right)=6+\tfrac{6}{5}=\tfrac{36}{5}.

Passo 7

Portanto a decomposição é
X(s)=\frac{36/5}{2s+1}-\frac{3/5}{s+3}.
Antes de aplicar a inversa, ajuste a primeira fração para a forma padrão 1/(s+a). Note que 2s+1=2\big(s+\tfrac{1}{2}\big), então
\frac{36/5}{2s+1}=\frac{36}{5}\cdot\frac{1}{2}\cdot\frac{1}{s+\tfrac{1}{2}}=\frac{18}{5}\cdot\frac{1}{s+\tfrac{1}{2}}.

Passo 8

Agora usamos as transformadas inversas padrão:
\mathcal{L}^{-1}\left\{\frac{1}{s+a}\right\}=e^{-at}.
Aplicando termo a termo:
  • Para \dfrac{18/5}{s+1/2} a inversa é \dfrac{18}{5}e^{-t/2}.
  • Para -\dfrac{3/5}{s+3} a inversa é -\dfrac{3}{5}e^{-3t}.
    Somando os termos, obtemos a solução no tempo:
x(t)=\frac{18}{5}e^{-t/2}-\frac{3}{5}e^{-3t},\qquad t\ge0.
Podemos checar rapidamente as condições iniciais: x(0)=(18/5)-(3/5)=15/5=3 (ok) e \dot{x}(0)=-(18/5)\cdot\tfrac{1}{2}+(-3/5)(-3)=-(9/5)+(9/5)=0 (ok).

Passo 9

Interpretação física / comportamento a partir dos polos (ajuda para a prova, como o professor sugeriu):
  • Os polos de X(s) são as raízes do denominador: s=-\tfrac{1}{2} e s=-3. Ambos têm parte real negativa, portanto o sistema é estável e todas as soluções exponencialmente decaem para zero quando t\to\infty.
  • Como os polos são reais e distintos, não há oscilações — a resposta é soma de exponenciais reais (regime superamortecido / sem oscilações).
  • O polo mais próximo da origem é s=-\tfrac{1}{2} (menos negativo), ele domina o decaimento a longo prazo: o termo \tfrac{18}{5}e^{-t/2} decai mais lentamente que \tfrac{3}{5}e^{-3t}, então para tempos grandes a solução se comporta aproximadamente como \tfrac{18}{5}e^{-t/2}.
  • Regra prática: polos com \operatorname{Re}(s)<0 → decaimento; \operatorname{Re}(s)=0 → oscilações permanentes (marginalmente estável se simples); \operatorname{Re}(s)>0 → crescimento (instável). Pausa mental: isso é muito útil na prova para deduzir comportamento sem calcular a solução completa.

Resposta

\displaystyle x(t)=\frac{18}{5}e^{-t/2}-\frac{3}{5}e^{-3t}

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