Questão 1) Determinação da Transformada de Laplace (TL).
Determinar as transformadas de Laplace das funções f(t) a seguir, sendo t \geq 0.
f(t)=e^{8 t}

Passo 1

O enunciado pede: determinar a transformada de Laplace da função f(t)=e^{8t} para t\ge 0.
Informações dadas: a função é f(t)=e^{8t} definida em t\ge 0. A tarefa é encontrar \mathcal{L}\{f(t)\}(s), ou seja, a transformada de Laplace unilateral de f.

Passo 2

Definição da transformada de Laplace (a “fórmula base” que vamos usar):
\mathcal{L}\{f(t)\}(s)=\int_{0}^{\infty} e^{-st}\,f(t)\,dt.
Explicando cada coisa: t é a variável de tempo (real, t\ge 0); s é a variável complexa do domínio de Laplace; a integral impropria só faz sentido quando ela converge (por isso depois avaliamos condições de convergência).

Passo 3

Substituímos f(t)=e^{8t} na definição:
\mathcal{L}\{e^{8t}\}(s)=\int_{0}^{\infty} e^{-st}\,e^{8t}\,dt.
Combinar as exponenciais: e^{-st}e^{8t}=e^{-(s-8)t}. Assim a integral fica
\mathcal{L}\{e^{8t}\}(s)=\int_{0}^{\infty} e^{-(s-8)t}\,dt.

Passo 4

Para calcular \int_{0}^{\infty} e^{-(s-8)t}\,dt é útil definir a=s-8. Então avaliamos \int_{0}^{\infty} e^{-a t}\,dt. Sabemos a primitiva:
\int e^{-a t}\,dt = -\frac{1}{a}e^{-a t}\quad (\text{para }a\neq 0).
Como é uma integral imprópria, escrevemos o limite:
\int_{0}^{\infty} e^{-a t}\,dt = \lim_{T\to\infty}\left[-\frac{1}{a}e^{-a t}\right]_{t=0}^{t=T} = \lim_{T\to\infty}\left(-\frac{1}{a}e^{-aT} + \frac{1}{a}\right).

Passo 5

O termo \lim_{T\to\infty} e^{-aT} vale 0 desde que a parte real de a seja positiva, isto é, \mathrm{Re}(a)>0. Portanto, quando \mathrm{Re}(a)>0 a integral vale 1/a. Voltando a a=s-8, a condição de convergência é \mathrm{Re}(s-8)>0, ou seja,
\mathrm{Re}(s)>8. Assim obtemos
\mathcal{L}\{e^{8t}\}(s)=\frac{1}{s-8}\qquad\text{(para }\mathrm{Re}(s)>8\text{)}.

Passo 6

Comentário prático para prova: memorize o par básico \mathcal{L}\{e^{at}\}(s)=\dfrac{1}{s-a} com região de convergência \mathrm{Re}(s)>a. Aqui basta usar a=8 para obter rapidamente o resultado. Sempre cheque a condição de convergência (se s for real dá s>8).

Resposta

\mathcal{L}\{e^{8t}\}(s)=\dfrac{1}{s-8},\quad \mathrm{Re}(s)>8

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