Questão 1) Determinação da Transformada de Laplace (TL).
Determinar as transformadas de Laplace das funções
a seguir, sendo
.
Determinar as transformadas de Laplace das funções
Passo 1
O enunciado pede: determinar a transformada de Laplace da função
para
.
Informações dadas: a função é definida em
. A tarefa é encontrar
, ou seja, a transformada de Laplace unilateral de
.
Informações dadas: a função é
Passo 2
Definição da transformada de Laplace (a “fórmula base” que vamos usar):
Explicando cada coisa:
é a variável de tempo (real,
);
é a variável complexa do domínio de Laplace; a integral impropria só faz sentido quando ela converge (por isso depois avaliamos condições de convergência).
Passo 3
Substituímos
na definição:
Combinar as exponenciais:
. Assim a integral fica
Passo 4
Para calcular
é útil definir
. Então avaliamos
. Sabemos a primitiva:
Como é uma integral imprópria, escrevemos o limite:
Passo 5
O termo
vale
desde que a parte real de
seja positiva, isto é,
. Portanto, quando
a integral vale
. Voltando a
, a condição de convergência é
, ou seja,
. Assim obtemos
Passo 6
Comentário prático para prova: memorize o par básico
com região de convergência
. Aqui basta usar
para obter rapidamente o resultado. Sempre cheque a condição de convergência (se
for real dá
).