Questão 1) Determinação da Transformada de Laplace (TL).
Determinar as transformadas de Laplace das funções
a seguir, sendo
.
Determinar as transformadas de Laplace das funções
Passo 1
O enunciado pede: determinar a transformada de Laplace da função
para
.
Informações dadas:
-
para . - Queremos
, a transformada de Laplace dessa função. - Não há mais condições no enunciado; implicitamente precisamos indicar para quais valores de
a transformada converge.
Passo 2
Definição (lembrando devagarinho): a transformada de Laplace de uma função
é
onde
é uma variável complexa (na prática, para funções polinomiais multiplicadas por exponencial basta considerar
para garantir convergência). Aqui
é o fator que faz a integral impropria convergir quando
, porque a exponencial domina potências de
e manda o integrando a zero rapidinho.
Passo 3
Aplicando a definição à nossa função:
Coloquei o
fora da integral porque é constante em relação a
.
Passo 4
Vamos calcular
por integrações por partes repetidas (método direto que dá intuição sobre a fórmula geral).
Primeira integração por partes:
- Escolho
e . - Então
e .
A fórmula
dá
Agora note que, para
, temos
(a exponencial vence a potência) e no zero
. Logo o termo de fronteira é zero. Assim
Segunda integração por partes (para
):
- Escolho
, ⇒ , .
Então
porque os termos de fronteira novamente são zero para
.
Terceira integração por partes (para
):
- Escolho
, ⇒ , .
Então
novamente termos de fronteira zeram.
Finalmente,
Passo 5
Agora combinamos todos os fatores que surgiram nas integrações por partes:
válido para
.
Passo 6
Voltando à transformada com o fator
que estava fora:
com região de convergência
.
Observação rápida (atitude de prova): existe também a fórmula geral
para
inteiro não negativo, que nos daria o resultado direto com
.