Questão 1) Determinação da Transformada de Laplace (TL).
Determinar as transformadas de Laplace das funções f(t) a seguir, sendo t \geq 0.
f(t)=2 t^{3}

Passo 1

O enunciado pede: determinar a transformada de Laplace da função f(t)=2t^{3} para t\ge 0.
Informações dadas:
  • f(t)=2t^{3} para t\ge 0.
  • Queremos \mathcal{L}\{f(t)\}(s), a transformada de Laplace dessa função.
  • Não há mais condições no enunciado; implicitamente precisamos indicar para quais valores de s a transformada converge.

Passo 2

Definição (lembrando devagarinho): a transformada de Laplace de uma função f(t) é
\mathcal{L}\{f(t)\}(s)=\int_{0}^{\infty} e^{-st} f(t)\,dt,
onde s é uma variável complexa (na prática, para funções polinomiais multiplicadas por exponencial basta considerar s>0 para garantir convergência). Aqui e^{-st} é o fator que faz a integral impropria convergir quando s>0, porque a exponencial domina potências de t e manda o integrando a zero rapidinho.

Passo 3

Aplicando a definição à nossa função:
\mathcal{L}\{2t^{3}\}(s)=\int_{0}^{\infty} e^{-st}\,2t^{3}\,dt = 2\int_{0}^{\infty} t^{3} e^{-st}\,dt.
Coloquei o 2 fora da integral porque é constante em relação a t.

Passo 4

Vamos calcular I=\int_{0}^{\infty} t^{3} e^{-st}\,dt por integrações por partes repetidas (método direto que dá intuição sobre a fórmula geral).
Primeira integração por partes:
  • Escolho u=t^{3} e dv=e^{-st}dt.
  • Então du=3t^{2}dt e v=\int e^{-st}dt=-\dfrac{e^{-st}}{s}.
A fórmula \int u\,dv = [uv]_0^{\infty}-\int v\,du
I = \left[ -\dfrac{t^{3}e^{-st}}{s} \right]_{0}^{\infty} + \int_{0}^{\infty} \dfrac{e^{-st}}{s}\cdot 3t^{2}\,dt.
Agora note que, para s>0, temos \lim_{t\to\infty} t^{3}e^{-st}=0 (a exponencial vence a potência) e no zero t^{3}=0. Logo o termo de fronteira é zero. Assim
I = \dfrac{3}{s}\int_{0}^{\infty} t^{2} e^{-st}\,dt.
Segunda integração por partes (para J=\int_{0}^{\infty} t^{2} e^{-st}dt):
  • Escolho u=t^{2}, dv=e^{-st}dt du=2t\,dt, v=-\dfrac{e^{-st}}{s}.
    Então
J=\left[ -\dfrac{t^{2}e^{-st}}{s} \right]_{0}^{\infty} + \int_{0}^{\infty} \dfrac{e^{-st}}{s}\cdot 2t\,dt = \dfrac{2}{s}\int_{0}^{\infty} t e^{-st}\,dt,
porque os termos de fronteira novamente são zero para s>0.
Terceira integração por partes (para K=\int_{0}^{\infty} t e^{-st}dt):
  • Escolho u=t, dv=e^{-st}dt du=dt, v=-\dfrac{e^{-st}}{s}.
    Então
K=\left[ -\dfrac{t e^{-st}}{s} \right]_{0}^{\infty} + \int_{0}^{\infty} \dfrac{e^{-st}}{s}\,dt = \dfrac{1}{s}\int_{0}^{\infty} e^{-st}\,dt,
novamente termos de fronteira zeram.
Finalmente,
\int_{0}^{\infty} e^{-st}\,dt = \left[ -\dfrac{e^{-st}}{s} \right]_{0}^{\infty} = \dfrac{1}{s}\quad\text{(para \(s>0\))}.

Passo 5

Agora combinamos todos os fatores que surgiram nas integrações por partes:
I = \dfrac{3}{s} \cdot \dfrac{2}{s} \cdot \dfrac{1}{s} \cdot \dfrac{1}{s} = \dfrac{3\cdot 2\cdot 1}{s^{4}} = \dfrac{3!}{s^{4}} = \dfrac{6}{s^{4}},
válido para s>0.

Passo 6

Voltando à transformada com o fator 2 que estava fora:
\mathcal{L}\{2t^{3}\}(s) = 2\cdot I = 2\cdot \dfrac{6}{s^{4}} = \dfrac{12}{s^{4}},
com região de convergência s>0.
Observação rápida (atitude de prova): existe também a fórmula geral \mathcal{L}\{t^{n}\}(s)=\dfrac{n!}{s^{n+1}} para n inteiro não negativo, que nos daria o resultado direto com n=3.

Resposta

\dfrac{12}{s^{4}},\\ s>0

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