Resolva as equações diferenciais ordinárias e PVI’s de 1 \underline{a} ordem. \left(x^{2} y+y\right) y^{\prime}+x y^{2}=0, y(1)=5
Passo 1
O que o exercício pede e o que temos:
Resolver a equação diferencial ordinária de primeira ordem e o problema de valor inicial (PVI) dado por\left(x^{2} y+y\right) y^{\prime}+x y^{2}=0,\qquad y(1)=5.
Informação dada: a equação envolve a função desconhecida y(x) e sua derivada y^{\prime}=\dfrac{dy}{dx}. O valor inicial é y(1)=5.
Objetivo: encontrar a função y(x) que satisfaz a equação e a condição y(1)=5.
Passo 2
Simplificar a equação e observar possibilidades imediatas:
Começo por fatorar y no primeiro termo:
\left(x^{2}y+y\right)y^{\prime}+x y^{2}=0
\Rightarrow y\,(x^{2}+1)\,y^{\prime}+x y^{2}=0.
Note que y\equiv0 (solução identicamente zero) satisfaz a equação, pois anula todos os termos. Porém a condição inicial é y(1)=5\neq0, então a solução que queremos não é y\equiv0. Assim podemos dividir ambos os lados da equação por y sem perder a solução que interessa (assumimos y\neq0 na vizinhança do ponto de interesse).
Passo 3
Obter uma forma linear em y:
Dividindo por y (válido porque a solução procurada tem y(1)=5\neq0) obtemos
(x^{2}+1)\,y^{\prime}+x\,y=0.
Colocando em forma padrão de equação linear de primeira ordem:
onde se usa que x^{2}+1>0 para todo x, então a raiz é bem definida (escolhemos a raiz positiva porque a exponencial é positiva).
Explicação curta da razão do fator integrante: multiplicando a equação por \mu(x) transformamos o lado esquerdo em uma derivada do produto \mu(x)y(x), isto é, (\mu y)^{\prime}=\mu y^{\prime}+\mu^{\prime}y, e \mu^{\prime}=(p\mu), por construção.
Passo 5
Multiplicar pela \mu(x) e integrar:
Multiplicando a equação y^{\prime}+p(x)y=0 por \mu(x)=\sqrt{x^{2}+1} obtemos
A solução encontrada é válida para todo x\in\mathbb{R}, já que x^{2}+1>0 para todo x.
A solução trivial y\equiv0 é solução da equação, mas não do PVI porque não satisfaz y(1)=5.
Resumindo: a técnica usada foi transformar a equação em uma equação linear em y, calcular o fator integrante \mu(x)=\sqrt{x^{2}+1}, usar que (\mu y)^{\prime}=0 e então aplicar a condição inicial para fixar a constante.