Resolva as equações diferenciais ordinárias e PVI’s de 1 \underline{a} ordem.
\left(x^{2} y+y\right) y^{\prime}+x y^{2}=0, y(1)=5

Passo 1

O que o exercício pede e o que temos:
  • Resolver a equação diferencial ordinária de primeira ordem e o problema de valor inicial (PVI) dado por \left(x^{2} y+y\right) y^{\prime}+x y^{2}=0,\qquad y(1)=5.
  • Informação dada: a equação envolve a função desconhecida y(x) e sua derivada y^{\prime}=\dfrac{dy}{dx}. O valor inicial é y(1)=5.
  • Objetivo: encontrar a função y(x) que satisfaz a equação e a condição y(1)=5.

Passo 2

Simplificar a equação e observar possibilidades imediatas:
Começo por fatorar y no primeiro termo:
\left(x^{2}y+y\right)y^{\prime}+x y^{2}=0
\Rightarrow y\,(x^{2}+1)\,y^{\prime}+x y^{2}=0.
Note que y\equiv0 (solução identicamente zero) satisfaz a equação, pois anula todos os termos. Porém a condição inicial é y(1)=5\neq0, então a solução que queremos não é y\equiv0. Assim podemos dividir ambos os lados da equação por y sem perder a solução que interessa (assumimos y\neq0 na vizinhança do ponto de interesse).

Passo 3

Obter uma forma linear em y:
Dividindo por y (válido porque a solução procurada tem y(1)=5\neq0) obtemos
(x^{2}+1)\,y^{\prime}+x\,y=0.
Colocando em forma padrão de equação linear de primeira ordem:
y^{\prime}+\underbrace{\frac{x}{x^{2}+1}}_{p(x)}\,y=0.
Aqui p(x)=\dfrac{x}{x^{2}+1}. A técnica mais direta é usar fator integrante (integrating factor).

Passo 4

Calcular o fator integrante e explicar a ideia:
O fator integrante \mu(x) é dado por
\mu(x)=\exp\!\left(\int p(x)\,dx\right)=\exp\!\left(\int \frac{x}{x^{2}+1}\,dx\right).
Para calcular \int \dfrac{x}{x^{2}+1}\,dx usa-se a substituição u=x^{2}+1, que dá du=2x\,dx, logo
\int \frac{x}{x^{2}+1}\,dx=\frac{1}{2}\int \frac{du}{u}=\frac{1}{2}\ln\!\left(x^{2}+1\right).
Portanto
\mu(x)=\exp\!\left(\tfrac{1}{2}\ln\!\left(x^{2}+1\right)\right)=(x^{2}+1)^{1/2}=\sqrt{x^{2}+1},
onde se usa que x^{2}+1>0 para todo x, então a raiz é bem definida (escolhemos a raiz positiva porque a exponencial é positiva).
Explicação curta da razão do fator integrante: multiplicando a equação por \mu(x) transformamos o lado esquerdo em uma derivada do produto \mu(x)y(x), isto é, (\mu y)^{\prime}=\mu y^{\prime}+\mu^{\prime}y, e \mu^{\prime}=(p\mu), por construção.

Passo 5

Multiplicar pela \mu(x) e integrar:
Multiplicando a equação y^{\prime}+p(x)y=0 por \mu(x)=\sqrt{x^{2}+1} obtemos
\sqrt{x^{2}+1}\,y^{\prime}+\sqrt{x^{2}+1}\,\frac{x}{x^{2}+1}\,y=0.
Como já mencionado, o lado esquerdo é a derivada do produto (\sqrt{x^{2}+1}\,y). Podemos verificar rapidamente que
\frac{d}{dx}\!\big(\sqrt{x^{2}+1}\,y\big)=\sqrt{x^{2}+1}\,y^{\prime}+\frac{x}{\sqrt{x^{2}+1}}\,y,
e \dfrac{x}{\sqrt{x^{2}+1}}=\sqrt{x^{2}+1}\cdot\dfrac{x}{x^{2}+1}, portanto a igualdade é consistente. Assim a equação vira
\frac{d}{dx}\!\big(\sqrt{x^{2}+1}\,y\big)=0.
Integrando em x obtemos
\sqrt{x^{2}+1}\,y=C,
onde C é constante de integração.

Passo 6

Resolver para y(x) e aplicar a condição inicial:
Isolando y,
y(x)=\frac{C}{\sqrt{x^{2}+1}}.
Agora aplicamos a condição inicial y(1)=5:
5=y(1)=\frac{C}{\sqrt{1^{2}+1}}=\frac{C}{\sqrt{2}} \quad\Rightarrow\quad C=5\sqrt{2}.
Portanto a solução do PVI é
y(x)=\frac{5\sqrt{2}}{\sqrt{x^{2}+1}}.

Passo 7

Observações finais e domínio:
  • A solução encontrada é válida para todo x\in\mathbb{R}, já que x^{2}+1>0 para todo x.
  • A solução trivial y\equiv0 é solução da equação, mas não do PVI porque não satisfaz y(1)=5.
  • Resumindo: a técnica usada foi transformar a equação em uma equação linear em y, calcular o fator integrante \mu(x)=\sqrt{x^{2}+1}, usar que (\mu y)^{\prime}=0 e então aplicar a condição inicial para fixar a constante.

Resposta

y(x)=\frac{5\sqrt{2}}{\sqrt{x^{2}+1}}

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