Resolva as equações diferenciais ordinárias e PVI’s de
ordem.
Passo 1
O enunciado fornece a equação diferencial ordinária de primeira ordem
O que é pedido: encontrar a solução geral dessa equação (não foi dado PVI / condição inicial, portanto vamos obter a família de soluções com constante arbitrária). Informações importantes dadas:
- coeficientes constantes:
multiplicando e multiplicando ; - termo membro (lado direito) é a constante
.
Passo 2
Colocar a equação em forma padrão (coeficiente de
igual a
), dividindo ambos os lados por
. Isso facilita o uso de métodos padrão.
Aqui,
. Agora a equação tem a forma
com
e
(ambos constantes neste caso).
Passo 3
Apresentar o método que vamos usar: fator integrante. Ideia rápida e didática:
- Para uma equação linear de primeira ordem
, define-se o fator integrante por
- Multiplicando a equação por
obtém-se à esquerda a derivada do produto , pois
Esse passo transforma a equação numa forma diretamente integrável.
Passo 4
Calcular o fator integrante para o nosso caso:
.
Passo 5
Multiplicar a equação padrão por
. Começando da forma
,
Pelo argumento do passo anterior, a esquerda é
. Logo:
Passo 6
Integrar ambos os lados em relação a
. A integral da derivada é a própria função:
Calcule a integral do lado direito. Como
, tem-se
onde
é a constante de integração. Portanto
Passo 7
Isolar
dividindo por
(note que
para todo
):
Aqui a constante
é a constante arbitrária de integração; às vezes escrevemos
ou
.
Passo 8
Interpretação e comentar alternativas (didática rápida):
- A solução geral é soma de solução particular
e solução geral da homogênea . - A equação homogênea associada é
, cuja solução geral é . - Uma solução particular da não-homogênea pode ser buscada por tentativa: como o termo forçado é constante, experimentar
constante . Substituindo em dá . Então . Isso concorda com a solução encontrada.
- A equação homogênea associada é
- Verificação rápida substituindo
na equação original: -
. -
. Confere.
-
Passo 9
Resumo final e incentivo: a solução geral é simples e fácil de memorizar com o método do fator integrante ou tentando uma solução particular constante. Você já conseguiu — excelente; na prova, se pedirem PVI com condição inicial, basta aplicar a condição para achar
.