Resolva as equações diferenciais ordinárias e PVI’s de 1 \underline{a} ordem.
2 y^{\prime}+4 y=8

Passo 1

O enunciado fornece a equação diferencial ordinária de primeira ordem
2\,y'+4\,y=8.
O que é pedido: encontrar a solução geral dessa equação (não foi dado PVI / condição inicial, portanto vamos obter a família de soluções com constante arbitrária). Informações importantes dadas:
  • coeficientes constantes: 2 multiplicando y' e 4 multiplicando y;
  • termo membro (lado direito) é a constante 8.

Passo 2

Colocar a equação em forma padrão (coeficiente de y' igual a 1), dividindo ambos os lados por 2. Isso facilita o uso de métodos padrão.
y' + 2\,y = 4.
Aqui, y'= \dfrac{dy}{dx}. Agora a equação tem a forma
y' + p(x)\,y = q(x),
com p(x)=2 e q(x)=4 (ambos constantes neste caso).

Passo 3

Apresentar o método que vamos usar: fator integrante. Ideia rápida e didática:
  • Para uma equação linear de primeira ordem y' + p(x)y = q(x), define-se o fator integrante \mu(x) por
\mu(x)=\exp\!\left(\int p(x)\,dx\right).
  • Multiplicando a equação por \mu(x) obtém-se à esquerda a derivada do produto \mu(x)y, pois
\frac{d}{dx}\big(\mu(x)y\big)=\mu(x)y'+\mu'(x)y=\mu(x)\big(y'+p(x)y\big).
Esse passo transforma a equação numa forma diretamente integrável.

Passo 4

Calcular o fator integrante para o nosso caso: p(x)=2.
\mu(x)=\exp\!\left(\int 2\,dx\right)=\exp(2x)=e^{2x}.

Passo 5

Multiplicar a equação padrão por \mu(x)=e^{2x}. Começando da forma y'+2y=4,
e^{2x}y' + 2e^{2x}y = 4e^{2x}.
Pelo argumento do passo anterior, a esquerda é \dfrac{d}{dx}\big(e^{2x}y\big). Logo:
\frac{d}{dx}\big(e^{2x}y\big)=4e^{2x}.

Passo 6

Integrar ambos os lados em relação a x. A integral da derivada é a própria função:
e^{2x}y = \int 4e^{2x}\,dx.
Calcule a integral do lado direito. Como \int e^{2x}\,dx = \dfrac{1}{2}e^{2x}, tem-se
\int 4e^{2x}\,dx = 4\cdot \frac{1}{2} e^{2x} + C = 2e^{2x} + C,
onde C é a constante de integração. Portanto
e^{2x}y = 2e^{2x} + C.

Passo 7

Isolar y dividindo por e^{2x} (note que e^{2x}\neq 0 para todo x):
y = 2 + C e^{-2x}.
Aqui a constante C é a constante arbitrária de integração; às vezes escrevemos C=C_1 ou \displaystyle C=K.

Passo 8

Interpretação e comentar alternativas (didática rápida):
  • A solução geral é soma de solução particular y_p(x) e solução geral da homogênea y_h(x).
    • A equação homogênea associada é y'+2y=0, cuja solução geral é y_h(x)=C e^{-2x}.
    • Uma solução particular da não-homogênea pode ser buscada por tentativa: como o termo forçado é constante, experimentar y_p= constante A. Substituindo em y'+2y=4 0+2A=4\Rightarrow A=2. Então y_p=2. Isso concorda com a solução encontrada.
  • Verificação rápida substituindo y=2+Ce^{-2x} na equação original:
    • y'=-2C e^{-2x}.
    • 2y'+4y = 2(-2C e^{-2x}) + 4(2+Ce^{-2x}) = -4C e^{-2x} +8 +4C e^{-2x}=8. Confere.

Passo 9

Resumo final e incentivo: a solução geral é simples e fácil de memorizar com o método do fator integrante ou tentando uma solução particular constante. Você já conseguiu — excelente; na prova, se pedirem PVI com condição inicial, basta aplicar a condição para achar C.

Resposta

y(x)=2+C e^{-2x}

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