Resolva as equações diferenciais de segunda ordem com as seguintes condições iniciais:
  e 
 .
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa equação diferencial de segunda ordem que é 
  com as condições iniciais 
  e 
 . A matéria que vamos usar aqui é equações diferenciais lineares de coeficientes constantes. Para resolver, vamos precisar achar as raízes da equação característica, montar a solução geral e depois aplicar as condições iniciais para encontrar as constantes.
Passo 2
Primeiro, vamos montar a equação característica. Para uma equação diferencial da forma 
 , a equação característica é 
 . No nosso caso, temos:
Passo 3
Agora, vamos resolver essa equação quadrática para encontrar as raízes 
 . Podemos usar a fórmula de Bhaskara:
Então, as raízes são:
Passo 4
Como temos duas raízes reais e distintas (
  e 
 ), a solução geral da equação diferencial é dada por:
Aqui, 
  e 
  são constantes que vamos determinar usando as condições iniciais.
Passo 5
Vamos aplicar a primeira condição inicial, que é 
 :
Passo 6
Agora, vamos derivar a solução geral para aplicar a segunda condição inicial 
 . A derivada de 
  é:
Aplicando 
 :
Passo 7
Agora temos um sistema de equações:
Podemos resolver esse sistema. Da primeira equação, isolamos 
 :
Substituindo na segunda equação:
Então, substituindo de volta:
Resposta
A solução da equação diferencial é: