Resolva as equações diferenciais por separação de variáveis:
(Yunus e William, 2014)
(t+2) \dot{y}=y^{2}+2.

Passo 1

O enunciado pede para resolver por separação de variáveis a equação
(t+2)\,\dot{y} = y^{2}+2.
O conteúdo aqui é “separação de variáveis”, que consiste em isolar todos os y de um lado e todos os t do outro antes de integrar.

Passo 2

Primeiro dividimos ambos os lados por (t+2) e por y^{2}+2, obtendo
\frac{1}{y^{2}+2}\,\frac{dy}{dt} \;=\; \frac{1}{t+2}.
Em seguida separamos as variáveis em cada membro:
\frac{dy}{y^{2}+2} \;=\; \frac{dt}{t+2}.

Passo 3

Agora integramos ambos os lados. No lado esquerdo usamos a fórmula
\int \frac{dy}{y^{2}+a^{2}} = \frac{1}{a}\arctan\!\bigl(\tfrac{y}{a}\bigr),
com a=\sqrt{2}. No lado direito temos a integral de 1/(t+2). Logo
\int \frac{dy}{y^{2}+2} = \int \frac{dt}{t+2} \quad\Longrightarrow\quad \frac{1}{\sqrt{2}}\arctan\!\Bigl(\frac{y}{\sqrt{2}}\Bigr) = \ln\bigl|t+2\bigr| + C,
onde C é a constante de integração.

Passo 4

Multiplicamos por \sqrt{2}$ e agrupamos a constante em \(C_{1}=\sqrt{2}\,C:
\arctan\!\Bigl(\tfrac{y}{\sqrt{2}}\Bigr) = \sqrt{2}\,\ln\bigl|t+2\bigr| + C_{1}.)

Passo 5

Aplicando a função tangente em ambos os lados para isolar y, obtemos
\frac{y}{\sqrt{2}} = \tan\!\Bigl(\sqrt{2}\,\ln\bigl|t+2\bigr| + C_{1}\Bigr) \quad\Longrightarrow\quad y(t) = \sqrt{2}\,\tan\!\Bigl(\sqrt{2}\,\ln\bigl|t+2\bigr| + C_{1}\Bigr).

Resposta

y(t) = \sqrt{2}\,\tan\!\Bigl(\sqrt{2}\,\ln\lvert t+2\rvert + C\Bigr),
onde C é a constante de integração.

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