y^{\prime}=\frac{x+y+4}{x-y-6}

Passo 1

O enunciado nos dá a equação diferencial de primeira ordem
y' = \frac{x + y + 4}{x - y - 6}
Estamos diante de uma equação que fica homogênea após transladar o sistema de eixos. Para resolver, vamos usar a mudança de variáveis
u = x - 1, \quad v = y + 5
de forma que o numerador e o denominador se tornem lineares e proporcionais a u e v.

Passo 2

Com u = x - 1 e v = y + 5 temos
\frac{dv}{dx} = \frac{dy}{dx} = \frac{x+y+4}{x-y-6}
e também \frac{du}{dx}=1. Logo
\frac{dv}{du} = \frac{x+y+4}{x-y-6} = \frac{(u+1)+(v-5)+4}{(u+1)-(v-5)-6} = \frac{u+v}{\,u-v\,}.

Passo 3

A fração \frac{u+v}{u-v} é homogênea de grau zero em (u,v). Fazemos a substituição
w = \frac{v}{u},
então
\frac{dv}{du} = w + u\,\frac{dw}{du}
e a equação vira
w + u\frac{dw}{du} = \frac{1 + w}{1 - w}.

Passo 4

Isolamos \frac{dw}{du}:
u\frac{dw}{du} = \frac{1+w}{1-w} - w = \frac{1 + w^2}{1 - w}.
Agora separamos variáveis:
\frac{1-w}{1+w^2}\,dw = \frac{du}{u}.

Passo 5

Integramos ambos os lados:
\int \frac{1-w}{1+w^2}\,dw = \int \frac{du}{u}.
No lado esquerdo,
\frac{1-w}{1+w^2} = \frac{1}{1+w^2} - \frac{w}{1+w^2},
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\int \frac{1-w}{1+w^2}\,dw = \arctan(w) \;-\;\frac{1}{2}\ln\bigl(1+w^2\bigr).
No lado direito,
\int \frac{du}{u} = \ln\lvert u\rvert + C.
Portanto
\arctan(w) - \tfrac12\ln\bigl(1+w^2\bigr) = \ln\lvert u\rvert + C.

Passo 6

Voltando a w = \frac{v}{u} = \frac{y+5}{x-1} e u = x-1, obtemos a solução implícita
\arctan\!\bigl(\tfrac{y+5}{x-1}\bigr) - \tfrac12\ln\!\bigl((x-1)^2+(y+5)^2\bigr) = C.

Resposta

\boxed{ \arctan\!\bigl(\tfrac{y+5}{x-1}\bigr) - \tfrac12\ln\!\bigl((x-1)^2+(y+5)^2\bigr) = C }.

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