Resolva as equações diferenciais usando uma substituição apropriada.
\left(x^{2} e^{-y / x}+y^{2}\right) d x=x y d y.

Passo 1

O enunciado nos dá a equação diferencial de primeira ordem
\bigl(x^{2}e^{-y/x}+y^{2}\bigr)\,dx = x\,y\,dy
e pede para resolver usando uma substituição apropriada. Como aparece o termo y/x no expoente, vamos usar a substituição
y = v x,
que costuma simplificar expressões onde aparece y/x.

Passo 2

Com y = v x, temos
dy = v\,dx + x\,dv.

Passo 3

Substituindo y=v x e dy=v\,dx+x\,dv na equação original:
\bigl(x^{2}e^{-v}+v^{2}x^{2}\bigr)\,dx = x\,(v x)\,(v\,dx + x\,dv).
No lado direito fica
x\cdot v x\cdot(v\,dx + x\,dv) = v^{2}x^{2}\,dx + v\,x^{3}\,dv.
Logo a igualdade é
x^{2}e^{-v}\,dx + v^{2}x^{2}\,dx = v^{2}x^{2}\,dx + v\,x^{3}\,dv.
Cancelando v^{2}x^{2}\,dx dos dois lados sobra
x^{2}e^{-v}\,dx = v\,x^{3}\,dv.

Passo 4

Dividindo ambos os lados por x^{2} obtém-se
e^{-v}\,dx = v\,x\,dv \quad\Longrightarrow\quad \frac{dx}{x} = v\,e^{v}\,dv,
uma equação separável nas variáveis x e v.

Passo 5

Integramos cada lado:
\int \frac{dx}{x} = \int v\,e^{v}\,dv.
No lado esquerdo dá
\int \frac{dx}{x} = \ln\bigl|x\bigr|.
No direito usamos integração por partes ou tabular, sabendo que
\int v\,e^{v}\,dv = (v-1)e^{v} + C.
Portanto
\ln\bigl|x\bigr| = (v-1)e^{v} + C.

Passo 6

Voltando à variável original v = \tfrac{y}{x}, a solução geral implícita é
\ln\bigl|x\bigr| = \Bigl(\frac{y}{x}-1\Bigr)\,e^{y/x} + C.

Resposta

\ln\bigl|x\bigr| = \Bigl(\frac{y}{x}-1\Bigr)e^{y/x} + C.

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