Resolva as equações diferenciais usando uma substituição apropriada.
(x+y) d x+x d y=0;

Passo 1

O enunciado pede resolver a equação diferencial
(x+y)\,dx + x\,dy = 0.
Para escrever em forma explícita, isolamos \tfrac{dy}{dx}:
\frac{dy}{dx} = -\frac{x+y}{x} = -1 - \frac{y}{x}.
Vemos que o membro direito depende só de y/x, portanto adotamos a substituição
y = v\,x.

Passo 2

Com y = v\,x, a derivada torna-se
\frac{dy}{dx} = v + x\,\frac{dv}{dx}.
Substituindo em \tfrac{dy}{dx} = -1 - \tfrac{y}{x} obtemos
v + x\,\frac{dv}{dx} = -1 - v.

Passo 3

Reorganizando, ficamos com
x\,\frac{dv}{dx} = -1 - v - v = -1 - 2v,
ou seja
\frac{dv}{dx} + \frac{2}{x}\,v = -\frac{1}{x}.
Esta é uma equação linear em v(x).

Passo 4

O fator integrante é
\mu(x) = e^{\int \tfrac{2}{x}\,dx} = x^2.
Multiplicando a equação por x^2
x^2\frac{dv}{dx} + 2x\,v = -x \quad\Longrightarrow\quad \frac{d}{dx}\bigl(x^2 v\bigr) = -x.
Integrando em x:
x^2 v = -\frac{x^2}{2} + C,
onde C é constante de integração.

Passo 5

Voltando à variável original, v = y/x, temos
x^2\frac{y}{x} = -\frac{x^2}{2} + C \quad\Longrightarrow\quad x\,y = -\frac{x^2}{2} + C.
Multiplicando tudo por 2 e renomeando a constante, obtemos a forma implícita
x^2 + 2x\,y = C'.

Resposta

\displaystyle x^2 + 2x\,y = C, onde C é constante de integração.

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