Resolva as equações diferenciais:
y^{2} d x=(2 x y+3) d y \equiv 0

Passo 1

O enunciado dá a diferencial
y^{2}\,dx \;=\;(2\,x\,y+3)\,dy,
que podemos reescrever na forma
M(x,y)\,dx + N(x,y)\,dy = 0
com
M(x,y)=y^{2}, \quad N(x,y)=-(2\,x\,y+3).
O conteúdo é “equação diferencial exata” e, se não for exata, procuramos um fator integrante.

Passo 2

Verificamos exatidão calculando
\frac{\partial M}{\partial y} =\frac{\partial}{\partial y}(y^{2})=2\,y, \qquad \frac{\partial N}{\partial x} =\frac{\partial}{\partial x}\bigl(-2\,x\,y-3\bigr)=-2\,y.
Como 2\,y\neq -2\,y, a equação não é exata.

Passo 3

Procuramos um fator integrante \mu que dependa só de y. Calculamos
\frac{\partial N/\partial x - \partial M/\partial y}{M} =\frac{-2\,y - 2\,y}{y^{2}} =-\frac{4\,y}{y^{2}} =-\frac{4}{y},
que é função apenas de y. Logo
\mu(y)=\exp\!\Bigl(\int -\tfrac{4}{y}\,dy\Bigr) =\exp\bigl(-4\ln|y|\bigr) = y^{-4}.

Passo 4

Multiplicamos a equação original por y^{-4}:
y^{-4}\,y^{2}\,dx \;-\;y^{-4}(2\,x\,y+3)\,dy = 0 \;\Longrightarrow\; y^{-2}\,dx \;-\;(2\,x\,y^{-3}+3\,y^{-4})\,dy = 0.
Agora M^*=y^{-2}, N^*=-(2\,x\,y^{-3}+3\,y^{-4}). Conferimos
\frac{\partial M^*}{\partial y} =-2\,y^{-3}, \quad \frac{\partial N^*}{\partial x} =-2\,y^{-3},
logo tornou-se exata.

Passo 5

Buscamos uma função potencial \varphi(x,y) tal que
\frac{\partial \varphi}{\partial x}=M^*=y^{-2} \;\Longrightarrow\; \varphi(x,y)=\int y^{-2}\,dx = x\,y^{-2} + h(y).
Depois igualamos
\frac{\partial \varphi}{\partial y} =-2\,x\,y^{-3} + h'(y) \quad\overset{!}{=}\quad N^*=-2\,x\,y^{-3}-3\,y^{-4},
de onde
h'(y)=-3\,y^{-4} \;\Longrightarrow\; h(y)=\int -3\,y^{-4}\,dy = y^{-3}.

Passo 6

Portanto a constante de primeiro integrador surge de
\varphi(x,y)=x\,y^{-2}+y^{-3}=C,
com C constante arbitrária. Podemos também escrever
\frac{x\,y+1}{y^{3}}=C \quad\Longleftrightarrow\quad x\,y+1=C\,y^{3}.

Resposta

A solução geral é
x\,y^{-2} + y^{-3} = C,
ou equivalentemente
x\,y + 1 = C\,y^{3},
com C constante.

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