Resolva as equações em \ell :
z^{2}\left(1-z^{2}\right)=16

Passo 1

O enunciado pede para resolver a equação
z^{2}\,(1 - z^{2}) = 16
ou seja, é um problema de álgebra que gera uma equação do quarto grau em números complexos. Vamos usar substituição para reduzir a um quadrático e depois extrair raízes complexas.

Passo 2

Expandindo e rearranjando, obtemos
z^{2} - z^{4} = 16 \;\Longrightarrow\; z^{4} - z^{2} + 16 = 0.

Passo 3

Faça a substituição \,t = z^{2}. A equação fica
t^{2} - t + 16 = 0.
Aplicando a fórmula de Bhaskara:
t = \frac{1 \pm \sqrt{1 - 4\cdot1\cdot16}}{2} = \frac{1 \pm \sqrt{-63}}{2} = \frac{1 \pm i\,3\sqrt{7}}{2}.

Passo 4

Agora voltamos a z fazendo z = \pm\sqrt{t}. Para extrair raiz de um número complexo w = a + ib, usamos
\sqrt{w} = \pm\Bigl(\sqrt{\tfrac{|w| + a}{2}} \;+\; i\,\sgn(b)\,\sqrt{\tfrac{|w| - a}{2}}\Bigr).
Para \displaystyle t_{1} = \frac{1 + i\,3\sqrt{7}}{2},
temos a = \tfrac12, b = \tfrac{3\sqrt7}{2}, |t_{1}|=4, logo
\sqrt{t_{1}} = \pm\Bigl(\tfrac{3}{2} + i\,\tfrac{\sqrt7}{2}\Bigr).
Para \displaystyle t_{2} = \frac{1 - i\,3\sqrt{7}}{2},
o cálculo é análogo e dá
\sqrt{t_{2}} = \pm\Bigl(\tfrac{3}{2} - i\,\tfrac{\sqrt7}{2}\Bigr).

Resposta

\displaystyle z = \frac{3 + i\sqrt{7}}{2} \displaystyle z = -\frac{3 + i\sqrt{7}}{2} \displaystyle z = \frac{3 - i\sqrt{7}}{2} \displaystyle z = -\frac{3 - i\sqrt{7}}{2}

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