Exprima cada um dos números complexos na forma algébrica:
\left(\frac{i-1}{2 i+6}\right)^{3}

Passo 1

O enunciado pede para expressar na forma algébrica o número complexo
\left(\frac{i-1}{2i+6}\right)^{3}.
O conteúdo envolve divisão de complexos (racionalização de denominador) e depois elevação ao cubo.

Passo 2

Racionalizamos o denominador da fração
\frac{i-1}{2i+6}=\frac{i-1}{6+2i}\cdot\frac{6-2i}{6-2i} =\frac{(i-1)(6-2i)}{(6+2i)(6-2i)}.
Calculamos numerador e denominador:
(i-1)(6-2i)=6i-2i^2-6+2i=-4+8i, \quad (6+2i)(6-2i)=6^2-(2i)^2=36-(-4)=40.

Passo 3

A fração fica
\frac{-4+8i}{40}=\frac{-1+2i}{10}.
Portanto
\left(\frac{i-1}{2i+6}\right)=\frac{-1+2i}{10}.

Passo 4

Agora elevamos ao cubo:
\biggl(\frac{-1+2i}{10}\biggr)^{3} =\frac{(-1+2i)^{3}}{10^{3}} =\frac{(-1+2i)^{3}}{1000}.
Calculamos primeiro (-1+2i)^{2}=-3-4i e depois
(-1+2i)^{3}=(-3-4i)(-1+2i)=11-2i.

Passo 5

Dividindo por 1000, obtemos
\frac{11-2i}{1000} =\frac{11}{1000}-\frac{2}{1000}i =\frac{11}{1000}-\frac{1}{500}i.

Resposta

\frac{11}{1000}-\frac{1}{500}i.

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