Resolva as equações.
f) x^{2}=|5 x-6|

Passo 1

O enunciado pede para resolver a equação
x^{2} = |5x - 6|.
Informações importantes que temos:
  • A incógnita é x.
  • O membro da direita é um valor absoluto: |5x-6|.
  • Precisamos encontrar todos os x reais que satisfazem essa igualdade.

Passo 2

Lembrete sobre valor absoluto (vamos mastigar isso): para qualquer expressão A\), \[|A| = \begin{cases} A, & \text{se } A \ge 0,\\[4pt] - A, & \text{se } A < 0. \end{cases}
Aqui A = 5x-6\]. Então vamos separar o problema em dois casos, conforme o sinal de \(5x-6. Essa é a técnica padrão para equações com módulo.]

Passo 3

Caso 1: suponha que 5x-6 \ge 0. Isso equivale a
5x-6 \ge 0 \quad\Rightarrow\quad x \ge \frac{6}{5}.
Nesse caso |5x-6| = 5x-6, então a equação fica
x^{2} = 5x - 6.
Reescrevendo em forma padrão:
x^{2} - 5x + 6 = 0.

Passo 4

Resolver x^{2}-5x+6=0. Vou tentar fatorar: procuro dois números que multiplicam para 6 e somam para -5. Esses números são -2 e -3. Logo
x^{2}-5x+6 = (x-2)(x-3).
Portanto as raízes são
x = 2 \quad\text{ou}\quad x = 3.
Agora verifico a condição do caso: x \ge \dfrac{6}{5} = 1{,}2. Ambos 2 e 3 satisfazem x \ge \dfrac{6}{5}, então são soluções válidas deste caso.

Passo 5

Caso 2: suponha que 5x-6 < 0. Isso equivale a
5x-6 < 0 \quad\Rightarrow\quad x < \frac{6}{5}.
Nesse caso |5x-6| = -(5x-6) = -5x+6, então a equação fica
x^{2} = -5x + 6.
Reescrevendo:
x^{2} + 5x - 6 = 0.

Passo 6

Resolver x^{2}+5x-6=0. Posso ver se ela fatoriza: preciso de dois números que multiplicam para -6 e somam para 5. Esses números são 6 e -1. Então
x^{2}+5x-6 = (x+6)(x-1).
As raízes são
x = -6 \quad\text{ou}\quad x = 1.
Agora checo a condição do caso: x < \dfrac{6}{5}. Temos 1 < 1{,}2 e -6 < 1{,}2, logo ambos satisfazem a condição. Portanto x=-6 e x=1 são soluções válidas deste caso.

Passo 7

Reunindo as soluções válidas dos dois casos, obtemos as soluções da equação original:
x \in \{-6,\;1,\;2,\;3\}.
Sempre bom verificar mentalmente substituindo cada raiz na equação original; todos satisfazem x^{2}=|5x-6|.

Resposta

-6
1
2
3

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