Resolva as equações.
frac{2\left(x-\frac{5}{6}\right)+1}{5 x-3}=\frac{2}{3}

Passo 1

O enunciado pede para resolver a equação
\frac{2\left(x-\frac{5}{6}\right)+1}{5x-3}=\frac{2}{3}.
Informações relevantes que o enunciado dá:
  • A incógnita é x.
  • A expressão envolve uma fração cujo denominador é 5x-3. Logo deve valer
5x-3 \neq 0 \quad\Rightarrow\quad x \neq \frac{3}{5},
pois não se pode dividir por zero.
  • Objetivo: encontrar todos os valores de x que satisfazem a igualdade.

Passo 2

Primeiro vamos simplificar o numerador para trabalhar com uma expressão mais clara. O numerador é
2\left(x-\frac{5}{6}\right)+1.
Distribuindo o 2 dentro do parêntese:
2\left(x-\frac{5}{6}\right)=2x-\frac{10}{6}.
Agora simplificar \dfrac{10}{6}. Dividindo numerador e denominador por 2:
\frac{10}{6}=\frac{5}{3}.
Portanto
2\left(x-\frac{5}{6}\right)+1=2x-\frac{5}{3}+1.

Passo 3

Transformar o 1 em fração com denominador 3 para somar com -\dfrac{5}{3}:
1=\frac{3}{3},
então
2x-\frac{5}{3}+1=2x-\frac{5}{3}+\frac{3}{3}=2x-\frac{2}{3}.
Assim a equação original fica
\frac{2x-\frac{2}{3}}{5x-3}=\frac{2}{3}.

Passo 4

Para resolver uma equação de frações como essa, o caminho mais direto é eliminar os denominadores por meio de multiplicação em cruz (ou seja, multiplicar os dois lados pelo produto dos denominadores), lembrando que já verificamos que 5x-3\neq0. Multiplicando ambos os lados por 3(5x-3) (ou fazendo multiplicação em cruz diretamente) obtemos:
3\left(2x-\frac{2}{3}\right)=2(5x-3).

Passo 5

Calcular os dois lados. No lado esquerdo, distribuir o 3:
3\left(2x-\frac{2}{3}\right)=3\cdot 2x - 3\cdot\frac{2}{3}=6x-2,
pois 3\cdot\frac{2}{3}=2. No lado direito:
2(5x-3)=10x-6.
Logo obtemos a equação linear
6x-2=10x-6.

Passo 6

Agora resolver a equação linear. Passos típicos: reunir termos com x de um lado e constantes do outro.
Subtrair 6x de ambos os lados:
-2=4x-6.
Somar 6 em ambos os lados:
4=4x.
Dividir ambos os lados por 4:
x=1.

Passo 7

Verificação e compatibilidade com a restrição de domínio. Primeiro verificar que x=1 não anula o denominador:
5x-3=5\cdot 1-3=2\neq0,
portanto é permitido. Substituir x=1 na equação original para checar:
o numerador fica
2\left(1-\frac{5}{6}\right)+1=2\cdot\frac{1}{6}+1=\frac{1}{3}+1=\frac{4}{3},
o denominador fica
5\cdot 1-3=2,
logo a fração é
\frac{\tfrac{4}{3}}{2}=\frac{4}{3}\cdot\frac{1}{2}=\frac{4}{6}=\frac{2}{3},
que é exatamente o lado direito da equação. Portanto x=1 satisfaz a equação.

Resposta

x=1

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