Resolva as equações.
frac{x^{2}-26}{x^{2}-9}=10

Passo 1

O enunciado pede para resolver a equação racional
\frac{x^{2}-26}{x^{2}-9}=10.
Informações dadas e o que é pedido:
  • Temos uma expressão racional com numerador x^{2}-26 e denominador x^{2}-9.
  • É pedido encontrar todos os valores de x que satisfazem essa igualdade.
  • Observação importante: valores que tornam o denominador zero não são permitidos (não pertencem ao domínio).

Passo 2

Determinar o domínio (proibir valores que anulam o denominador). O denominador é x^{2}-9. Impor
x^{2}-9 \neq 0.
Isso dá
x^{2}\neq 9 \quad\Rightarrow\quad x\neq \pm 3.
Ou seja, x=\pm 3 são proibidos; qualquer solução encontrada deve ser diferente de \pm 3.

Passo 3

Explicar o método: aqui podemos multiplicar ambos os lados da equação pelo denominador x^{2}-9 para eliminar a fração. Aviso didático: multiplicar por uma expressão que pode ser zero exige primeiro verificar o domínio (feito no Passo 2). Como já excluímos x=\pm 3, a multiplicação é segura para os demais x.
Multiplicando ambos os lados por x^{2}-9 obtemos uma equação polinomial:
x^{2}-26 = 10\,(x^{2}-9).

Passo 4

Desenvolver a equação resultante passo a passo:
x^{2}-26 = 10x^{2}-90.
Passar todos os termos para um lado (subtrair x^{2} e somar 90 em ambos os lados):
x^{2}-26 -10x^{2} +90 = 0
-9x^{2} +64 = 0.
Multiplicar por -1 para ficar mais agradável:
9x^{2}-64=0.

Passo 5

Resolver a equação quadrática simples. Isolar x^{2}:
9x^{2}=64
x^{2}=\frac{64}{9}.
Agora tomar raiz quadrada (lembrando as duas possibilidades, positiva e negativa):
x=\pm\sqrt{\frac{64}{9}}.
Calcular a raiz:
\sqrt{\frac{64}{9}}=\frac{\sqrt{64}}{\sqrt{9}}=\frac{8}{3}.
Portanto as candidatas são x=\frac{8}{3} e x=-\frac{8}{3}.

Passo 6

Verificar se as candidatas pertencem ao domínio e se satisfazem a equação original (checar soluções extranhas).
  • Domínio: \pm\frac{8}{3} são distintos de \pm 3, logo permitidos.
  • Substituir x^{2}=\dfrac{64}{9} na expressão original para checar:
    Numerador: x^{2}-26=\frac{64}{9}-26=\frac{64}{9}-\frac{234}{9}=\frac{-170}{9}.Denominador: x^{2}-9=\frac{64}{9}-9=\frac{64}{9}-\frac{81}{9}=\frac{-17}{9}.Razão: \frac{x^{2}-26}{x^{2}-9}=\frac{\tfrac{-170}{9}}{\tfrac{-17}{9}}=\frac{-170}{9}\cdot\frac{9}{-17}=\frac{170}{17}=10.Assim ambas as candidatas satisfazem a equação.

Passo 7

Conclusão: as soluções válidas da equação são x=\dfrac{8}{3} e x=-\dfrac{8}{3}. Força aí nos estudos — fez direitinho até aqui!

Resposta

\dfrac{8}{3}
-\dfrac{8}{3}

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