Resolva as equações.
frac{5 x-2}{1-3 x}=-1

Passo 1

O enunciado pede para resolver a equação racional \displaystyle \frac{5x-2}{1-3x}=-1, ou seja, encontrar os valores de x que satisfazem essa igualdade.
Informações relevantes fornecidas:
  • A equação é \displaystyle \frac{5x-2}{1-3x}=-1.
  • Importante: o denominador não pode ser zero, então 1-3x\neq0, isto é, x\neq\frac{1}{3}. Este é um domínio que deve ser observado ao resolver.

Passo 2

Método escolhido e por quê (explicação didática): aqui usamos a técnica de “multiplicar ambos os lados pelo denominador” (às vezes chamada de cross-multiplication) para eliminar a fração e obter uma equação algébrica simples. Atenção: só podemos multiplicar ambos os lados por 1-3x se tivermos em mente que não estamos multiplicando por zero — por isso a restrição x\neq\frac{1}{3} é importante. Multiplicar por 1-3x transforma a equação racional em uma equação polinomial equivalente para valores permitidos de x.

Passo 3

Aplicando o método: multiplicar ambos os membros por 1-3x. Como lembrado, isso é válido quando x\neq\frac{1}{3}.
\frac{5x-2}{1-3x}=-1
Multiplicando:
5x-2 = -1\cdot(1-3x)
Agora desenvolve-se o lado direito:
5x-2 = -1 + 3x

Passo 4

Resolver a equação linear obtida passo a passo:
5x-2 = -1 + 3x
Subtrair 3x de ambos os lados:
5x-3x-2 = -1
Simplificar:
2x-2 = -1
Somar 2 em ambos os lados:
2x = 1
Dividir por 2:
x = \frac{1}{2}

Passo 5

Verificação (sempre faça na prova): substituir x=\frac{1}{2} na equação original para checar que realmente funciona e também checar a condição do domínio.
Calcular numerador e denominador:
5\left(\tfrac{1}{2}\right)-2=\tfrac{5}{2}-2=\tfrac{1}{2}, \qquad 1-3\left(\tfrac{1}{2}\right)=1-\tfrac{3}{2}=-\tfrac{1}{2}.
Fazendo a divisão:
\frac{\tfrac{1}{2}}{-\tfrac{1}{2}}=-1,
portanto a igualdade é satisfeita. Além disso x=\tfrac{1}{2}\neq\tfrac{1}{3}, logo não viola o domínio. Dica alternativa rápida: poderia também somar 1 em ambos os lados e reduzir a uma fração cujo numerador igual a zero, o que leva à mesma solução.

Resposta

\frac{1}{2}

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