Resolva as equações.
frac{x^{2}+1}{x^{2}-4}=6

Passo 1

O enunciado pede para resolver a equação
\frac{x^{2}+1}{x^{2}-4}=6.
Informações dadas e restrições importantes:
  • A incógnita é x.
  • O denominador não pode ser zero, portanto x\neq \pm 2. Esta é uma condição de domínio que precisa ser lembrada antes de manipular a equação.

Passo 2

Como primeiro passo algébrico vamos eliminar o denominador. Como já vimos que x\neq \pm 2, é válido multiplicar ambos os lados da equação por x^{2}-4. Fazendo isso obtemos uma equação sem fração:
x^{2}+1 = 6(x^{2}-4).

Passo 3

Agora vamos desenvolver a expressão do lado direito e agrupar termos semelhantes. Primeiro distribui o 6:
x^{2}+1 = 6x^{2}-24.
Passamos todos os termos para um lado subtraindo x^{2}+1 de ambos os lados:
0 = 6x^{2}-24 - (x^{2}+1)=5x^{2}-25.
Simplificando dividindo ambos os lados por 5 (operações permitidas porque 5\neq 0):
0 = x^{2}-5.

Passo 4

Agora resolvemos a equação quadrática simples
x^{2}-5=0.
Isolando x^{2} obtemos
x^{2}=5.
Para obter x aplicamos a raiz quadrada em ambos os lados. Lembre-se: quando x^{2}=a com a>0, as soluções reais são x=\pm\sqrt{a}. Assim
x=\pm\sqrt{5}.

Passo 5

Devemos checar se as soluções encontradas respeitam a condição de domínio ( x\neq \pm 2) e se não são extraneous por causa da multiplicação pelo denominador. Como \sqrt{5}\approx 2,236, temos \pm\sqrt{5}\neq \pm 2, então ambas são permitidas. Substituindo uma delas na equação original (por exemplo usando x^{2}=5):
\frac{x^{2}+1}{x^{2}-4}=\frac{5+1}{5-4}=\frac{6}{1}=6,
o que confirma que as duas soluções realmente satisfazem a equação original.

Resposta

x=\pm\sqrt{5}

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