Resolva as equações.
frac{x^{2}+3 x-10}{x^{2}-2}=5

Passo 1

O enunciado pede para resolver a equação racional
\frac{x^{2}+3x-10}{x^{2}-2}=5.
Informações dadas e restrições imediatas:
  • A incógnita é x.
  • Há um denominador x^{2}-2, portanto é proibido que x^{2}-2=0. Logo x \neq \pm\sqrt{2}.
  • O objetivo é encontrar todos os valores de x que tornam a igualdade verdadeira (respeitando a restrição do domínio).

Passo 2

Escolha do método: para equações do tipo “fração = número”, o procedimento padrão é multiplicar ambos os lados pelo denominador, desde que se tenha em mente que o denominador não pode ser zero. Isso transforma a equação racional numa equação polinomial mais simples, que podemos resolver com técnicas elementares (fatoração ou fórmula quadrática). Vou multiplicar ambos os lados por x^{2}-2, lembrando que isso só é válido quando x^{2}-2\neq0, condição já anotada.

Passo 3

Multiplicando ambos os lados por x^{2}-2 obtemos
x^{2}+3x-10 = 5(x^{2}-2).
Agora vou expandir o lado direito e simplificar passo a passo.

Passo 4

Expandindo o lado direito:
5(x^{2}-2)=5x^{2}-10.
Substituindo na equação:
x^{2}+3x-10 = 5x^{2}-10.
Passo todos os termos para o mesmo lado (subtraio x^{2}+3x-10 de ambos os lados):
0 = 5x^{2}-10 - (x^{2}+3x-10).
Distribuindo o sinal negativo:
0 = 5x^{2}-10 - x^{2} -3x +10.
Somando os termos semelhantes (note que -10+10=0):
0 = 4x^{2} -3x.
Portanto chegamos à equação polinomial
4x^{2}-3x=0.

Passo 5

Fatoro o polinômio obtido. Coloco x em evidência:
4x^{2}-3x = x(4x-3).
Pela propriedade do produto nulo (se o produto de dois fatores é zero, então pelo menos um dos fatores é zero), temos:
x=0 \quad\text{ou}\quad 4x-3=0.

Passo 6

Resolvendo cada fator:
  • Se x=0 já é uma solução candidata.
  • Se 4x-3=0 então 4x=3 e portanto x=\dfrac{3}{4}.
Agora verifico as restrições e checo substituindo na equação original para evitar raízes extranhas.

Passo 7

Verificação e domínio:
  • Domínio: x\neq \pm\sqrt{2}. As soluções candidatas x=0 e x=\dfrac{3}{4} não são \pm\sqrt{2}, então estão no domínio.
  • Substituição x=0:
\frac{0^{2}+3\cdot0-10}{0^{2}-2}=\frac{-10}{-2}=5,
confere.
  • Substituição x=\dfrac{3}{4}:
    Calculo o numerador e denominador separadamente:
x^{2}+3x-10 = \left(\dfrac{3}{4}\right)^{2} + 3\cdot\dfrac{3}{4} -10 = \dfrac{9}{16} + \dfrac{9}{4} - 10.
Colocando tudo sobre 16:
\dfrac{9}{16} + \dfrac{36}{16} - \dfrac{160}{16} = \dfrac{45-160}{16} = \dfrac{-115}{16}.
Denominador:
x^{2}-2 = \dfrac{9}{16}-2 = \dfrac{9}{16}-\dfrac{32}{16} = \dfrac{-23}{16}.
Quociente:
\frac{\dfrac{-115}{16}}{\dfrac{-23}{16}} = \frac{-115}{16}\cdot\frac{16}{-23} = \frac{115}{23}=5,
confere também.
Portanto ambas as soluções são válidas.

Resposta

x=0
x=\dfrac{3}{4}

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