Resolva as equações.
Passo 1
O enunciado pede para resolver a equação racional
Informações dadas e restrições imediatas:
- A incógnita é
. - Há um denominador
, portanto é proibido que . Logo . - O objetivo é encontrar todos os valores de
que tornam a igualdade verdadeira (respeitando a restrição do domínio).
Passo 2
Escolha do método: para equações do tipo “fração = número”, o procedimento padrão é multiplicar ambos os lados pelo denominador, desde que se tenha em mente que o denominador não pode ser zero. Isso transforma a equação racional numa equação polinomial mais simples, que podemos resolver com técnicas elementares (fatoração ou fórmula quadrática). Vou multiplicar ambos os lados por
, lembrando que isso só é válido quando
, condição já anotada.
Passo 3
Multiplicando ambos os lados por
obtemos
Agora vou expandir o lado direito e simplificar passo a passo.
Passo 4
Expandindo o lado direito:
Substituindo na equação:
Passo todos os termos para o mesmo lado (subtraio
de ambos os lados):
Distribuindo o sinal negativo:
Somando os termos semelhantes (note que
):
Portanto chegamos à equação polinomial
Passo 5
Fatoro o polinômio obtido. Coloco
em evidência:
Pela propriedade do produto nulo (se o produto de dois fatores é zero, então pelo menos um dos fatores é zero), temos:
Passo 6
Resolvendo cada fator:
- Se
já é uma solução candidata. - Se
então e portanto .
Agora verifico as restrições e checo substituindo na equação original para evitar raízes extranhas.
Passo 7
Verificação e domínio:
-
Domínio:
. As soluções candidatas e não são , então estão no domínio. -
Substituição
:
confere.
- Substituição
:
Calculo o numerador e denominador separadamente:
Colocando tudo sobre
:
Denominador:
Quociente:
confere também.
Portanto ambas as soluções são válidas.