Resolva as equações.
frac{x^{2}-1}{x^{2}-2 x+1}=4

Passo 1

O enunciado dá a equação
\frac{x^{2}-1}{x^{2}-2x+1}=4.
O que é pedido: encontrar todos os valores de x que satisfazem essa igualdade. Informações importantes fornecidas:
  • O numerador é x^{2}-1.
  • O denominador é x^{2}-2x+1, que pode zerar e nesse caso a expressão não está definida. É necessário identificar valores proibidos do domínio antes de manipular a equação.

Passo 2

Identificar o domínio: o denominador x^{2}-2x+1 é um quadrado perfeito. Vamos fatorá-lo para ver quando é zero.
x^{2}-2x+1=(x-1)^{2}.
Logo, o denominador é zero quando x=1. Portanto x=1 está proibido: não podemos aceitar x=1 como solução porque a expressão original não está definida aí. Nas transformações algébricas que faremos, devemos lembrar dessa restrição.

Passo 3

Multiplicar ambos os lados da equação por x^{2}-2x+1 (válido apenas para x\neq1) para eliminar o denominador. A equação original
\frac{x^{2}-1}{x^{2}-2x+1}=4
vira
x^{2}-1=4\bigl(x^{2}-2x+1\bigr).
Agora desenvolve e organiza os termos do lado direito.

Passo 4

Calcular o lado direito e passar tudo para um lado para obter uma equação quadrática:
x^{2}-1=4x^{2}-8x+4.
Subtraindo x^{2}-1 de ambos os lados:
0=4x^{2}-8x+4-(x^{2}-1)=3x^{2}-8x+5.
Temos então a equação quadrática
3x^{2}-8x+5=0.
Para resolver uma quadrática ax^{2}+bx+c=0 usamos a fórmula de Bhaskara/ fórmula quadrática
x=\frac{-b\pm\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a},
onde a=3, b=-8, c=5. Primeiro calcule o discriminante:
\Delta=b^{2}-4ac=(-8)^{2}-4\cdot3\cdot5=64-60=4.
Como \Delta=4, \sqrt{\Delta}=2. Agora aplicando a fórmula:
x=\frac{8\pm2}{6}.
Isso gera duas raízes:
x=\frac{8+2}{6}=\frac{10}{6}=\frac{5}{3}, \qquad x=\frac{8-2}{6}=\frac{6}{6}=1.

Passo 5

Verificar as raízes quanto ao domínio e na equação original:
  • x=1 aparece como solução da quadrática, mas foi identificado no Passo 2 que x=1 faz o denominador zero. Portanto x=1 é inválido para a equação original e deve ser rejeitado.
  • x=\dfrac{5}{3} não anula o denominador ( (\tfrac{5}{3}-1)^{2}=(\tfrac{2}{3})^{2}=\tfrac{4}{9}\neq0). Verificação rápida na expressão original:
\frac{\bigl(\tfrac{5}{3}\bigr)^{2}-1}{\bigl(\tfrac{5}{3}\bigr)^{2}-2\cdot\bigl(\tfrac{5}{3}\bigr)+1} =\frac{\tfrac{25}{9}-1}{\tfrac{25}{9}-\tfrac{10}{3}+1} =\frac{\tfrac{16}{9}}{\tfrac{4}{9}}=4,
logo x=\dfrac{5}{3} satisfaz a equação original.

Resposta

x=\dfrac{5}{3}

Exercícios relacionados