e pede para encontrar todos os valores de x que satisfazem essa igualdade. Informação importante que já vem no enunciado: a expressão tem um denominador \,x^{2}-3x+2, então quaisquer valores de x que anulem esse polinômio não pertencem ao domínio (não podem ser usados na equação).
Passo 2
Princípio básico (regra que vamos usar): se uma fração \dfrac{A}{B} é igual a zero e B\neq0, então necessariamente A=0. Explicando de forma simples: multiplicando ambos os lados por B (que não é zero) obtém-se A=0. Portanto, para resolver
\frac{x}{x^{2}-3x+2}=0
devemos procurar x tais que o numerador seja zero, desde que o denominador não seja zero.
Passo 3
Aplicando a regra ao nosso caso: o numerador é x. Então impomos
x=0.
Esse é um candidato a solução, mas ainda precisamos verificar se para x=0 o denominador não fica zero.
Passo 4
Calcular o denominador em x=0:
x^{2}-3x+2\bigg|_{x=0}=0^{2}-3\cdot0+2=2.
Como 2\neq0, o denominador não anula em x=0. Portanto x=0 é uma solução válida.
Passo 5
Para garantir que não exista outra solução escondida, vamos identificar os valores que anulam o denominador (esses seriam proibidos). Fatorando o polinômio:
x^{2}-3x+2=(x-1)(x-2),
pois 1+2=3 e 1\cdot2=2. Assim os zeros do denominador são x=1 e x=2; esses valores não pertencem ao domínio da equação. Como o numerador em x=1 e x=2 vale \,1 e \,2 respectivamente (não são zero), eles não resolvem a equação mesmo que fossem permitidos.
Passo 6
Resumo e verificação final: o único x que zera o numerador e não zera o denominador é x=0. Substituindo para checar: