Resolva as equações.
Passo 1
O enunciado dá a equação racional
O que se pede: encontrar todos os valores de
que satisfazem essa equação. Informação importante fornecida implicitamente pela forma da equação: o denominador não pode ser zero, logo
. Nenhum outro dado é fornecido.
Passo 2
Primeiro passo para resolver uma equação que tem fração é eliminar o denominador multiplicando ambos os lados por ele, desde que se lembre que isso só é válido quando o denominador não é zero. Aqui o denominador é
, que é diferente de zero porque já anotamos que
. Portanto multiplicamos ambos os lados da equação por
:
No lado esquerdo o fator
cancela, ficando:
Passo 3
Agora desenvolvemos o lado direito e colocamos tudo em forma padrão de uma equação quadrática. Expandindo:
Passando todos os termos para o mesmo lado:
Esta é uma equação do tipo
, com
Passo 4
Para resolver uma equação quadrática usamos a fórmula de Bhaskara (fórmula quadrática):
Aqui o discriminante é
O que significa que
e teremos duas raízes reais distintas. A raiz quadrada de
é
Passo 5
Aplicando a fórmula:
Agora calculamos as duas possibilidades:
Passo 6
Sempre é bom verificar substituindo as raízes na equação original para garantir que não ocorreram erros nem soluções extraviadas pelo procedimento:
Para
:
confere com o lado direito.
Para
:
também confere. Além disso nenhuma das soluções é
, que era proibido. Portanto ambas são válidas.
Passo 7
Resumo do método usado (para aplicar na prova): ao lidar com uma equação racional do tipo
, primeiro verificar as restrições do domínio
; depois multiplicar por
(válido somente para
que não anulam
), obter uma equação polinomial, reduzir à forma padrão e resolver (aqui deu quadrática, resolvida com fórmula). Sempre por fim checar as soluções na equação original.