Resolva as equações.
frac{2 x^{2}}{x+5}=5

Passo 1

O enunciado dá a equação racional
\frac{2x^{2}}{x+5}=5.
O que se pede: encontrar todos os valores de x que satisfazem essa equação. Informação importante fornecida implicitamente pela forma da equação: o denominador não pode ser zero, logo x\neq -5. Nenhum outro dado é fornecido.

Passo 2

Primeiro passo para resolver uma equação que tem fração é eliminar o denominador multiplicando ambos os lados por ele, desde que se lembre que isso só é válido quando o denominador não é zero. Aqui o denominador é x+5, que é diferente de zero porque já anotamos que x\neq -5. Portanto multiplicamos ambos os lados da equação por x+5:
(x+5)\cdot\frac{2x^{2}}{x+5} = (x+5)\cdot 5.
No lado esquerdo o fator x+5 cancela, ficando:
2x^{2} = 5(x+5).

Passo 3

Agora desenvolvemos o lado direito e colocamos tudo em forma padrão de uma equação quadrática. Expandindo:
2x^{2} = 5x + 25.
Passando todos os termos para o mesmo lado:
2x^{2} - 5x - 25 = 0.
Esta é uma equação do tipo ax^{2}+bx+c=0, com
a=2,\qquad b=-5,\qquad c=-25.

Passo 4

Para resolver uma equação quadrática usamos a fórmula de Bhaskara (fórmula quadrática):
x = \frac{-b\pm\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.
Aqui o discriminante é
\Delta = b^{2}-4ac = (-5)^{2}-4\cdot2\cdot(-25) = 25 + 200 = 225.
O que significa que \Delta>0 e teremos duas raízes reais distintas. A raiz quadrada de \Delta é
\sqrt{\Delta}=\sqrt{225}=15.

Passo 5

Aplicando a fórmula:
x = \frac{-(-5)\pm 15}{2\cdot 2} = \frac{5\pm 15}{4}.
Agora calculamos as duas possibilidades:
x_{1}=\frac{5+15}{4}=\frac{20}{4}=5,
x_{2}=\frac{5-15}{4}=\frac{-10}{4}=-\frac{5}{2}.

Passo 6

Sempre é bom verificar substituindo as raízes na equação original para garantir que não ocorreram erros nem soluções extraviadas pelo procedimento:
Para x=5:
\frac{2\cdot 5^{2}}{5+5}=\frac{2\cdot 25}{10}=\frac{50}{10}=5,
confere com o lado direito.
Para x=-\dfrac{5}{2}:
\frac{2\cdot\left(-\dfrac{5}{2}\right)^{2}}{-\dfrac{5}{2}+5} =\frac{2\cdot \dfrac{25}{4}}{\dfrac{-5+10}{2}} =\frac{\dfrac{50}{4}}{\dfrac{5}{2}} =\frac{25}{2}\cdot\frac{2}{5}=5,
também confere. Além disso nenhuma das soluções é x=-5, que era proibido. Portanto ambas são válidas.

Passo 7

Resumo do método usado (para aplicar na prova): ao lidar com uma equação racional do tipo \dfrac{P(x)}{Q(x)}=k, primeiro verificar as restrições do domínio Q(x)\neq 0; depois multiplicar por Q(x) (válido somente para x que não anulam Q), obter uma equação polinomial, reduzir à forma padrão e resolver (aqui deu quadrática, resolvida com fórmula). Sempre por fim checar as soluções na equação original.

Resposta

x=5
x=-\dfrac{5}{2}

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