Resolva as equações.
g) x^{2}+3 x-1=|3 x+8|

Passo 1

O enunciado pede para resolver a equação
x^{2}+3x-1 = |3x+8|.
O que se dá e o que se pede:
  • Dado: a igualdade entre um polinômio quadrático x^{2}+3x-1 e o valor absoluto |3x+8|.
  • Pedido: encontrar todos os valores reais de x que satisfazem essa igualdade.
Informação importante extraída da equação:
  • O módulo |3x+8| impõe uma condição de sinal sobre a expressão interna 3x+8. Haverá, portanto, dois casos a considerar: 3x+8\ge 0 e 3x+8<0.
  • O ponto que separa os casos é a raiz de 3x+8=0, que é x=-\dfrac{8}{3}.

Passo 2

Explicação do método (mini-aula sobre valor absoluto e divisão em casos).
  • Definição do valor absoluto: para qualquer número real A\), \[|A| = \begin{cases} A, & \text{se } A\ge 0,\\[4pt] -A, & \text{se } A<0. \end{cases}
  • Aplicação aqui: com A=3x+8\] devemos estudar separadamente os dois sinais possíveis de \(3x+8.
  • Procedimento geral: para cada caso substituir |3x+8| pela expressão adequada, resolver a equação resultante (que será uma equação polinomial), e então verificar quais raízes obtidas realmente satisfazem a condição do caso (para evitar soluções extraviadas).
O ponto crítico é 3x+8=0\Rightarrow x=-\dfrac{8}{3}. Vamos aos casos.]

Passo 3

Caso 1: suponha que 3x+8\ge 0, ou seja
x \ge -\dfrac{8}{3}.
Neste caso |3x+8| = 3x+8. Substituindo na equação:
x^{2}+3x-1 = 3x+8.
Simplificando (subtrair 3x+8 de ambos os lados):
x^{2}+3x-1 - (3x+8) = 0 \quad\Rightarrow\quad x^{2}-9=0.
Esta é uma equação do tipo x^{2}=9, que se resolve tirando raiz quadrada:
x = \pm 3.
Agora aplicar a condição do caso x \ge -\dfrac{8}{3}:
  • Para x=3: 3 \ge -\dfrac{8}{3} é verdadeiro, então x=3 é candidato a solução.
  • Para x=-3: -3 \ge -\dfrac{8}{3} é falso, porque -3 = -3{,}0 e -\dfrac{8}{3} \approx -2{,}666. Assim x=-3 não pertence ao intervalo do caso e deve ser rejeitado aqui.
Resumo do caso 1: produz a solução válida x=3.

Passo 4

Caso 2: suponha que 3x+8<0, ou seja
x < -\dfrac{8}{3}.
Neste caso |3x+8| = -(3x+8) = -3x-8. Substituindo na equação:
x^{2}+3x-1 = -3x-8.
Passando tudo para um lado:
x^{2}+3x-1 +3x +8 = 0 \quad\Rightarrow\quad x^{2}+6x+7=0.
Agora resolvemos a equação quadrática x^{2}+6x+7=0. Mini-aula sobre a fórmula da quadrática:
  • Para uma equação ax^{2}+bx+c=0, as raízes são dadas por
x = \frac{-b\pm\sqrt{\Delta}}{2a}, \qquad\text{onde }\Delta=b^{2}-4ac
é o discriminante.
  • Aqui a=1, b=6, c=7. Calcula-se o discriminante:
\Delta = 6^{2}-4\cdot1\cdot7 = 36-28 = 8.
Logo as raízes são
x = \frac{-6\pm\sqrt{8}}{2} = \frac{-6\pm 2\sqrt{2}}{2} = -3 \pm \sqrt{2}.

Passo 5

Aplicar a condição do caso x < -\dfrac{8}{3} às raízes obtidas em x=-3\pm\sqrt{2}.
  • Calcular aproximadamente para comparar com -\dfrac{8}{3}\approx -2{,}666\dots:
    • -3 + \sqrt{2} \approx -3 + 1{,}414\approx -1{,}586. Este valor não satisfaz x < -\dfrac{8}{3} (pois -1{,}586 > -2{,}666). Portanto x=-3+\sqrt{2} é rejeitado.
    • -3 - \sqrt{2} \approx -3 - 1{,}414\approx -4{,}414. Este valor satisfaz x < -\dfrac{8}{3}. Portanto x=-3-\sqrt{2} é candidato a solução.
Resumo do caso 2: produz a solução válida x = -3-\sqrt{2}.

Passo 6

Verificação final direta inserindo as soluções candidatas na equação original (mini-aula sobre verificação — por que checar? —: quando se faz divisões em casos, algumas raízes podem não respeitar a hipótese do caso; por isso verificar diretamente na equação original garante que a igualdade vale).
  • Verificar x=3: \text{LHS}=3^{2}+3\cdot3-1=9+9-1=17, \qquad \text{RHS}=|3\cdot3+8|=|9+8|=17.Igualdade satisfeita.
  • Verificar x=-3-\sqrt{2}. Calcular simbolicamente: x^{2} = (-3-\sqrt{2})^{2}=9+6\sqrt{2}+2=11+6\sqrt{2},então \text{LHS}=x^{2}+3x-1=(11+6\sqrt{2})+3(-3-\sqrt{2})-1=1+3\sqrt{2}. 3x+8 = 3(-3-\sqrt{2})+8 = -9-3\sqrt{2}+8 = -1-3\sqrt{2},e portanto \text{RHS}=|3x+8| = | -1-3\sqrt{2}| = 1+3\sqrt{2}.Novamente LHS = RHS, logo a igualdade é satisfeita.
Conclusão: as duas raízes aprovadas pelos casos realmente verificam a equação original.

Resposta

x=3
x=-3-\sqrt{2}

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