Resolva as equações.
g)
g)
Passo 1
O enunciado pede para resolver a equação
O que se dá e o que se pede:
- Dado: a igualdade entre um polinômio quadrático
e o valor absoluto . - Pedido: encontrar todos os valores reais de
que satisfazem essa igualdade.
Informação importante extraída da equação:
- O módulo
impõe uma condição de sinal sobre a expressão interna . Haverá, portanto, dois casos a considerar: e . - O ponto que separa os casos é a raiz de
, que é .
Passo 2
Explicação do método (mini-aula sobre valor absoluto e divisão em casos).
- Definição do valor absoluto: para qualquer número real
- Aplicação aqui: com .
- Procedimento geral: para cada caso substituir
pela expressão adequada, resolver a equação resultante (que será uma equação polinomial), e então verificar quais raízes obtidas realmente satisfazem a condição do caso (para evitar soluções extraviadas).
O ponto crítico é
. Vamos aos casos.]
Passo 3
Caso 1: suponha que
, ou seja
Neste caso
. Substituindo na equação:
Simplificando (subtrair
de ambos os lados):
Esta é uma equação do tipo
, que se resolve tirando raiz quadrada:
Agora aplicar a condição do caso
:
- Para
: é verdadeiro, então é candidato a solução. - Para
: é falso, porque e . Assim não pertence ao intervalo do caso e deve ser rejeitado aqui.
Resumo do caso 1: produz a solução válida
.
Passo 4
Caso 2: suponha que
, ou seja
Neste caso
. Substituindo na equação:
Passando tudo para um lado:
Agora resolvemos a equação quadrática
. Mini-aula sobre a fórmula da quadrática:
- Para uma equação
, as raízes são dadas por
é o discriminante.
- Aqui
, , . Calcula-se o discriminante:
Logo as raízes são
Passo 5
Aplicar a condição do caso
às raízes obtidas em
.
- Calcular aproximadamente para comparar com
: -
. Este valor não satisfaz (pois ). Portanto é rejeitado. -
. Este valor satisfaz . Portanto é candidato a solução.
-
Resumo do caso 2: produz a solução válida
.
Passo 6
Verificação final direta inserindo as soluções candidatas na equação original (mini-aula sobre verificação — por que checar? —: quando se faz divisões em casos, algumas raízes podem não respeitar a hipótese do caso; por isso verificar diretamente na equação original garante que a igualdade vale).
- Verificar
: Igualdade satisfeita. - Verificar
. Calcular simbolicamente: então Já e portanto Novamente LHS = RHS, logo a igualdade é satisfeita.
Conclusão: as duas raízes aprovadas pelos casos realmente verificam a equação original.