Resolva as equações:
Passo 1
Beleza, vamos resolver a equação diferencial
. Esse tipo de equação é uma equação diferencial linear de segunda ordem com um termo não homogêneo (o
). Para resolver, a gente vai precisar:
- Resolver a equação homogênea associada:
. - Encontrar uma solução particular para a equação completa.
- Somar essas duas soluções para obter a solução geral.
Passo 2
Primeiro, vamos resolver a equação homogênea:
.
Essa é uma equação diferencial linear homogênea de segunda ordem, e para resolvê-la, usamos a equação característica. Vamos supor que a solução tem a forma
, onde
é uma constante a ser encontrada.
Substituindo
na equação homogênea:
Dividindo ambos os lados por
(que nunca é zero):
Resolvendo para
:
Aqui,
é a unidade imaginária. Então, as soluções da equação homogênea são combinações de funções seno e cosseno:
Onde
e
são constantes arbitrárias.
Passo 3
Agora, vamos encontrar uma solução particular
para a equação completa
.
Como o lado direito é
, tentamos uma solução particular da forma:
Onde
e
são constantes a serem determinadas.
Calculando as derivadas:
Substituindo
e
na equação original:
Distribuindo
:
Igualando os coeficientes dos termos semelhantes:
Então, a solução particular é:
Passo 4
Agora, juntamos a solução geral da equação diferencial, que é a soma da solução homogênea
e da solução particular
:
Resposta
A solução geral da equação
é:
Onde
e
são constantes arbitrárias.