Encontre a massa do fio cujo formato é o da curva de intersecção da esfera x^2 + y^2 + z^2 = 1 e do plano x + y + z = 0 se a densidade do fio no ponto (x, y, z) é x^2.

Passo 1

Então, a gente tem um fio que segue o trajeto onde uma esfera de raio 1, dada pela equação , cruza um plano descrito por . A densidade do fio muda de ponto pra ponto e é dada por . Nosso objetivo aqui é encontrar a massa desse fio. Para isso, vamos precisar usar conceitos de geometria analítica para achar a curva de interseção e cálculo integral para somar toda a densidade ao longo do fio.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar a curva onde a esfera e o plano se encontram. Para isso, a gente vai usar as equações dadas:
Podemos resolver esse sistema para achar uma relação entre e em termos de um parâmetro.

Passo 3

Vamos escolher um parâmetro, digamos , para facilitar a parametrização da curva. A gente pode expressar , e em função de :
Essa parametrização satisfaz as duas equações originais.

Passo 4

Agora, precisamos calcular o elemento de comprimento . Isso é feito derivando as coordenadas em relação a e encontrando a magnitude do vetor derivada:
Então,
Após calcular, descobrimos que .

Passo 5

A densidade no ponto é . Usando nossa parametrização:

Passo 6

Finalmente, a massa do fio é a integral da densidade vezes o elemento de comprimento ao longo de toda a curva:
Sabendo que , temos:

Resposta

A massa do fio é .

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