Resolva as equações: y'' + 4y = x sen(2x)

Passo 1

Beleza, vamos resolver a equação diferencial . Esse tipo de equação é chamado de equação diferencial linear não homogênea de segunda ordem. Para resolver, a gente vai precisar achar a solução geral, que é composta pela solução da equação homogênea associada ( ) mais uma solução particular da equação completa. Vamos lá!

Passo 2

Primeiro, vamos resolver a equação homogênea . Essa é uma equação diferencial de coeficientes constantes. A gente assume uma solução da forma e substitui na equação para achar os valores de .

Passo 3

Substituindo na equação homogênea, temos:
Dividindo por (que nunca é zero), ficamos com:
Isso nos dá as raízes .

Passo 4

Como as raízes são complexas com e , a solução geral da equação homogênea é:
onde e são constantes que determinamos com condições iniciais.

Passo 5

Agora, vamos encontrar uma solução particular para a equação completa . Como o lado direito é , a gente tenta uma solução do tipo:
Isso porque quando o forçamento é polinomial vezes funções trigonométricas, a solução particular tem essa forma.

Passo 6

Vamos derivar para encontrar e :

Passo 7

Substituindo e na equação :
õ
Igualamos os coeficientes dos termos e de ambos os lados para encontrar os valores de e .

Passo 8

Após igualar os coeficientes, resolvemos o sistema de equações resultante e encontramos:
Então, a solução particular é:

Passo 9

A solução geral da equação diferencial é a soma da solução homogênea e da solução particular:

Resposta

A solução geral da equação diferencial é:

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