Resolva as equações:
Passo 1
Beleza, vamos resolver a equação diferencial
. Esse tipo de equação é chamado de equação diferencial linear não homogênea de segunda ordem. Para resolver, a gente vai precisar achar a solução geral, que é composta pela solução da equação homogênea associada (
) mais uma solução particular da equação completa. Vamos lá!
Passo 2
Primeiro, vamos resolver a equação homogênea
. Essa é uma equação diferencial de coeficientes constantes. A gente assume uma solução da forma
e substitui na equação para achar os valores de
.
Passo 3
Substituindo
na equação homogênea, temos:
Dividindo por
(que nunca é zero), ficamos com:
Isso nos dá as raízes
.
Passo 4
Como as raízes são complexas
com
e
, a solução geral da equação homogênea é:
onde
e
são constantes que determinamos com condições iniciais.
Passo 5
Agora, vamos encontrar uma solução particular
para a equação completa
. Como o lado direito é
, a gente tenta uma solução do tipo:
Isso porque quando o forçamento é polinomial vezes funções trigonométricas, a solução particular tem essa forma.
Passo 6
Vamos derivar
para encontrar
e
:
Passo 7
Substituindo
e
na equação
:
Igualamos os coeficientes dos termos
e
de ambos os lados para encontrar os valores de
e
.
Passo 8
Após igualar os coeficientes, resolvemos o sistema de equações resultante e encontramos:
Então, a solução particular é:
Passo 9
A solução geral da equação diferencial é a soma da solução homogênea e da solução particular:
Resposta
A solução geral da equação diferencial é: