Escreva cada função em termos de funções degrau unitário. Encontre a transformada de Laplace da função dada.
a) f(t) = { 0, 0 <= t < 1; t^2, t >= 1 }
b) f(t) = { sent, 0 <= t < 2 pi; 0, t >= 2 pi }
c) f(t) = { 0, 0 <= t < 3 pi / 2; sent, t >= 3 pi / 2 }
d) f(t) = { 1, 0 <= t < 4; 0, 4 <= t < 5; 1, t >= 5 }

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que o exercício está pedindo. Temos a função definida por partes e precisamos expressá-la usando a função degrau unitário, também conhecida como função de Heaviside. Depois, vamos encontrar a transformada de Laplace dessa função. Para isso, vamos precisar conhecer as propriedades da função degrau unitário e a definição da transformada de Laplace.

Passo 2

Vamos reescrever a função usando a função degrau unitário . A função degrau unitário “liga” a função a partir do tempo . No nosso caso, a função muda de 0 para em . Assim, podemos expressar da seguinte maneira:
Simplificando, já que :

Passo 3

Agora, vamos encontrar a transformada de Laplace de . Sabemos que a transformada de Laplace de é dada por:
No nosso caso, . Primeiro, encontramos a transformada de Laplace de :

Passo 4

Aplicando a propriedade mencionada no Passo 3, multiplicamos pela exponencial :

Resposta

A transformada de Laplace da função é:

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