Resolva as equações: j y'' - 2 y' + 10 y = sen(3 x) + e^(x)

Passo 1

Beleza, vamos resolver a equação diferencial . Essa é uma equação diferencial linear de segunda ordem com termos não homogêneos. Para resolver, vamos precisar usar o método das equações características para a parte homogênea e procurar soluções particulares para os termos não homogêneos e e^x.

Passo 2

Primeiro, vamos resolver a parte homogênea da equação: . Para isso, montamos a equação característica:

Passo 3

Resolvendo a equação quadrática usando a fórmula de Bhaskara:

Passo 4

Como as raízes são complexas, , a solução geral da parte homogênea é:

Passo 5

Agora vamos encontrar a solução particular para os termos não homogêneos e e^x. Vamos chamar essa solução de , que será a soma das soluções particulares para cada termo:

Passo 6

Primeiro, encontramos para . Como já está presente na solução homogênea, multiplicamos por x para evitar duplicação:

Passo 7

Agora, encontramos para e^x. Assumimos uma solução da forma:

Passo 8

Derivamos :

Passo 9

Substituímos na equação diferencial:
Então,

Passo 10

Agora, juntamos as soluções homogênea e particular:

Resposta

A solução geral da equação diferencial é:

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