Resolva as equações: l y'' - 3 y' = x + cos(x)

Passo 1

Beleza, vamos resolver a equação diferencial . Aqui, estamos lidando com uma equação diferencial linear de segunda ordem com termos não homogêneos. Para resolver, vamos precisar encontrar a solução geral, que é a soma da solução da equação homogênea e de uma solução particular da equação completa.

Passo 2

Primeiro, vamos resolver a equação homogênea associada, que é . Para isso, assumimos que a solução tem a forma . Derivando, temos e . Substituindo na equação homogênea:
Dividindo por (que nunca é zero):
Resolvendo para :

Passo 3

Com as raízes e , a solução geral da equação homogênea é:
Aqui, e são constantes que serão determinadas pelas condições iniciais, se fornecidas.

Passo 4

Agora, vamos encontrar uma solução particular para a equação não homogênea . A ideia é supor uma forma para que se ajuste ao lado direito da equação. Como temos um termo polinomial e um termo trigonométrico , vamos propor:
Aqui, , , , e são constantes a serem determinadas.

Passo 5

Vamos calcular as derivadas de :
Substituindo , e na equação original:
Simplificando:
Agrupando os termos semelhantes:

Passo 6

Agora, igualamos os coeficientes dos termos correspondentes dos dois lados da equação:
Para os termos de :
Para os termos de :
Para os termos constantes:

Passo 7

Resolvendo o sistema de equações:
Primeiro, de , temos .
Substituindo na equação :
Então, .

Passo 8

Com , , e , a solução particular fica:
Como a constante pode ser absorvida na solução homogênea, podemos definir para simplificar.

Passo 9

Finalmente, a solução geral da equação diferencial é a soma da solução homogênea e da solução particular:

Resposta

A solução geral da equação é:
Onde e são constantes arbitrárias.

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