Resolva as equações:
Passo 1
Beleza, vamos resolver a equação diferencial
. Aqui, estamos lidando com uma equação diferencial linear de segunda ordem com termos não homogêneos. Para resolver, vamos precisar encontrar a solução geral, que é a soma da solução da equação homogênea e de uma solução particular da equação completa.
Passo 2
Primeiro, vamos resolver a equação homogênea associada, que é
. Para isso, assumimos que a solução tem a forma
. Derivando, temos
e
. Substituindo na equação homogênea:
Dividindo por
(que nunca é zero):
Resolvendo para
:
Passo 3
Com as raízes
e
, a solução geral da equação homogênea é:
Aqui,
e
são constantes que serão determinadas pelas condições iniciais, se fornecidas.
Passo 4
Agora, vamos encontrar uma solução particular
para a equação não homogênea
. A ideia é supor uma forma para
que se ajuste ao lado direito da equação. Como temos um termo polinomial
e um termo trigonométrico
, vamos propor:
Aqui,
,
,
, e
são constantes a serem determinadas.
Passo 5
Vamos calcular as derivadas de
:
Substituindo
,
e
na equação original:
Simplificando:
Agrupando os termos semelhantes:
Passo 6
Agora, igualamos os coeficientes dos termos correspondentes dos dois lados da equação:
Para os termos de
:
Para os termos de
:
Para os termos constantes:
Passo 7
Resolvendo o sistema de equações:
Primeiro, de
, temos
.
Substituindo
na equação
:
Então,
.
Passo 8
Com
,
, e
, a solução particular fica:
Como a constante
pode ser absorvida na solução homogênea, podemos definir
para simplificar.
Passo 9
Finalmente, a solução geral da equação diferencial é a soma da solução homogênea e da solução particular:
Resposta
A solução geral da equação
é:
Onde
e
são constantes arbitrárias.