Resolva as equações:
\left(x^{3}+y^{3}\right) d x+3 x y^{2} d y=0

Passo 1

O enunciado pede para resolver a equação diferencial
\bigl(x^{3}+y^{3}\bigr)\,dx + 3\,x\,y^{2}\,dy = 0.
O conteúdo é de equações diferenciais exatas; vamos verificar exatidão e, em seguida, encontrar uma função potencial cujo diferencial seja esse.

Passo 2

Identifiquemos
M(x,y) = x^{3} + y^{3}, \quad N(x,y) = 3\,x\,y^{2}.
Calculamos as derivadas parciais
\frac{\partial M}{\partial y} = 3\,y^{2}, \quad \frac{\partial N}{\partial x} = 3\,y^{2}.
Como \partial M/\partial y = \partial N/\partial x, a equação é exata.

Passo 3

Buscamos uma função \varphi(x,y) tal que
\frac{\partial \varphi}{\partial x} = M(x,y).
Integramos M em relação a x:
\varphi(x,y) = \int (x^{3}+y^{3})\,dx = \frac{x^{4}}{4} + x\,y^{3} + h(y),
onde h(y) é uma função a determinar.

Passo 4

Agora impomos
\frac{\partial \varphi}{\partial y} = N(x,y).
Da expressão de \varphi temos
\frac{\partial \varphi}{\partial y} = 3\,x\,y^{2} + h'(y),
e isso deve ser igual a N(x,y)=3\,x\,y^{2}. Logo h'(y)=0, ou seja, h(y) é constante.

Passo 5

A solução geral vem de
\varphi(x,y) = \frac{x^{4}}{4} + x\,y^{3} = C,
com C constante arbitrária.

Resposta

\frac{x^{4}}{4} + x\,y^{3} = C.

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