Sabendo-se que a reta y=\frac{1}{2} é uma assíntota horizontal para o gráfico de f(x)=\frac{\sqrt{2023+2 a x^{6}}}{b x^{3}+a}, é possível concluir que:

Passo 1

O enunciado dá
f(x)=\frac{\sqrt{2023+2a x^{6}}}{b x^{3}+a}
e informa que a reta y=\tfrac12 é assíntota horizontal. Isso significa que
\lim_{x\to+\infty}f(x)=\frac12
e vamos usar o comportamento dos termos de maior grau em x para calcular esse limite.

Passo 2

Para x\to+\infty, dentro da raiz o termo dominante é 2a x^6. Logo
\sqrt{2023+2a x^{6}}\sim\sqrt{2a\,x^6} =\sqrt{2a}\;x^3.

Passo 3

No denominador, para x\to+\infty domina-se b x^3, ou seja
b x^3 + a\sim b x^3.

Passo 4

Portanto,
\lim_{x\to+\infty}f(x) =\lim_{x\to+\infty}\frac{\sqrt{2023+2a x^{6}}}{b x^{3}+a} =\frac{\sqrt{2a}\,x^3}{b\,x^3} =\frac{\sqrt{2a}}{b}.
Como essa razão deve ser \tfrac12, impõe-se
\frac{\sqrt{2a}}{b}=\frac12.

Passo 5

Basta resolver
\sqrt{2a}= \frac b2 \quad\Longrightarrow\quad 2a=\frac{b^2}{4} \quad\Longrightarrow\quad a=\frac{b^2}{8}.
Além disso, para a raiz estar bem definida em grandes x precisamos a>0, o que implica b>0.

Resposta

a=\frac{b^2}{8},\quad a>0\\ (\text{e portanto }b>0).

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