Resolva as equações
\left|\begin{array}{llll}x & 0 & 0 & 1 \\\\ 0 & x & 1 & 0 \\\\ 0 & x & 0 & 1 \\\\ 1 & 0 & x & 1\end{array}\right|=\left|\begin{array}{ll}1 & x \\\\ 1 & 0\end{array}\right|

Passo 1

O enunciado pede para resolver a equação
\det A = \det B
onde
A = \begin{pmatrix} x & 0 & 0 & 1\\\\ 0 & x & 1 & 0\\\\ 0 & x & 0 & 1\\\\ 1 & 0 & x & 1 \end{pmatrix}
e
B = \begin{pmatrix} 1 & x\\\\ 1 & 0 \end{pmatrix}.
O conteúdo principal envolve cálculo de determinantes e solução de uma equação algébrica.

Passo 2

Vamos calcular \det A por expansão de cofactores na primeira linha. Temos
\det A = x \cdot D_1 \;-\; 1 \cdot D_2,
onde D_1 é o determinante do menor obtido removendo linha 1 e coluna 1, e D_2 é o menor removendo linha 1 e coluna 4.
M_{11} = \begin{pmatrix} x & 1 & 0\\\ x & 0 & 1\\\\ 0 & x & 1 \end{pmatrix}, \quad M_{14} = \begin{pmatrix} 0 & x & 1\\\\ 0 & x & 0\\\\ 1 & 0 & x \end{pmatrix}.
Calculemos
D_1 = \det M_{11} = x\,(0\cdot1 - 1\cdot x)\;-\;1\,(x\cdot1 - 1\cdot0) = -x^2 \;-\; x,
D_2 = \det M_{14} = 1\cdot\det\begin{pmatrix}x & 1\\\ x & 0\end{pmatrix} = x\cdot0 - 1\cdot x = -x.
Logo
\det A = x\,(-x^2 - x) \;-\;(-x) = -x^3 - x^2 + x.

Passo 3

O determinante da matriz B de ordem 2 é
\det B = 1\cdot0 - x\cdot1 = -x.

Passo 4

Igualando \det A = \det B temos
-x^3 - x^2 + x = -x.
Passando tudo para um lado e simplificando,
-x^3 - x^2 + x + x = 0 \quad\Longrightarrow\quad -x^3 - x^2 + 2x = 0 \quad\Longrightarrow\quad x\,(x^2 + x - 2) = 0.
Fatorizando o segundo termo,
x\,(x+2)\,(x-1) = 0.

Resposta

As soluções são
x = 0,\quad x = -2,\quad x = 1.

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