Resolva as equações.
a) \left|x^{2}-10\right|=6

Passo 1

O enunciado pede para resolver a equação
\left|x^{2}-10\right|=6.
Informações dadas:
  • A expressão dentro do valor absoluto é x^{2}-10.
  • O valor absoluto é igual a 6, que é um número não negativo.
  • A tarefa é encontrar todos os números reais x que satisfazem essa igualdade.

Passo 2

Regra sobre valor absoluto que vamos usar (explicação didática):
  • Para qualquer número real y\) e qualquer \(a\ge0\) vale \[|y|=a \quad\Longleftrightarrow\quad y=a \\ \text{ou}\\ y=-a.
Por quê? Porque a definição do módulo é
|y|= \begin{cases} y, & \text{se } y\ge0,\\[4pt] -y, & \text{se } y<0. \end{cases}
Logo, se |y|=a\] com \(a\ge0, ou y=a (caso y\ge0) ou -y=a (caso y<0), o que dá y=-a. Essa regra transforma uma equação com módulo em duas equações mais simples.]

Passo 3

Aplicando a regra ao nosso caso, tomando y=x^{2}-10 e a=6, obtemos duas equações equivalentes:
x^{2}-10=6
ou
x^{2}-10=-6.

Passo 4

Resolvendo a primeira equação:
x^{2}-10=6
x^{2}=6+10
x^{2}=16.
Quando temos x^{2}=c com c>0, as soluções reais são x=\sqrt{c} e x=-\sqrt{c}. Portanto daqui vêm
x=4\quad\text{ou}\quad x=-4.
Verificação rápida: para x=4 tem-se x^{2}-10=16-10=6 e |6|=6. Para x=-4 também x^{2}-10=16-10=6, logo também serve.

Passo 5

Resolvendo a segunda equação:
x^{2}-10=-6
x^{2}=-6+10
x^{2}=4.
Usando a mesma ideia de raiz quadrada, obtemos
x=2\quad\text{ou}\quad x=-2.
Verificação rápida: para x=2 tem-se x^{2}-10=4-10=-6 e |-6|=6. Para x=-2 também x^{2}-10=4-10=-6, logo também serve.

Passo 6

Conclusão sobre soluções: as quatro soluções obtidas são x=-4,\,-2,\,2,\,4. Não houve nenhuma solução extraviada ao transformar a equação com módulo em duas equações lineares em x^{2}, porque a regra |y|=a \Leftrightarrow y=\pm a é equivalente (para a\ge0).

Resposta

x = -4
x = -2
x = 2
x = 4

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