Resolva as equações lineares:
cos x d yd x+y sen x=1

Passo 1

A equação dada é uma equação diferencial linear de primeira ordem: cos x dy/dx + y sen x = 1. Vamos precisar colocá-la na forma padrão dy/dx + P(x)y = Q(x), encontrar o fator integrante e resolver.

Passo 2

Dividindo toda a equação por cos x, obtemos a forma padrão:
dydx + tan x,y = sec x
Aqui P(x)=tan x e Q(x)=sec x.

Passo 3

O fator integrante é dado por
mu(x)=e^integral P(x),dx=e^integral tan x,dx=e^-ln|cos x|=1cos x
É ele que vai transformar o lado esquerdo numa derivada exata.

Passo 4

Multiplicando a equação padrão por mu(x)=1/cos x, temos
1cos xdydx+sin xcos^2 xy=1cos^2 x
O lado esquerdo é exatamente a derivada de y/cos x, ou seja,
ddxl(ycos xr)=sec^2 x

Passo 5

Agora integramos ambos os lados:
ycos x=integralsec^2 x,dx=tan x + C,
onde C é a constante de integração.

Passo 6

Por fim, isolamos y:
y=cos x,(tan x+C)=sin x + Ccos x

Resposta

y(x)=\sin x + C\cos x

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