Resolva as equações lineares:
x d yd x+y=2 x, y(1)=0

Passo 1

O enunciado pede para resolver a equação diferencial de primeira ordem linear x,dydx + y = 2x com condição inicial y(1)=0. Vamos usar o método do fator integrante, que é padrão para equações lineares do tipo dydx + P(x)y = Q(x).

Passo 2

Primeiro, colocamos a equação na forma padrão dividindo tudo por x (assumindo xneq0):
dydx + 1x,y = 2
Aqui temos P(x)=1x e Q(x)=2.

Passo 3

Calculamos o fator integrante mu(x) como
mu(x)=expl(integral P(x),dxr)=expl(integral 1xdxr)=exp(ln|x|)=x
Esse mu(x) vai permitir agrupar o lado esquerdo como derivada de produto.

Passo 4

Multiplicamos a equação padrão por mu(x)=x:
xdydx + y = 2x
Repare que o lado esquerdo é exatamente ddx(x,y). Então temos
ddx(x,y)=2x

Passo 5

Integramos ambos os lados em relação a x:
x,y = integral 2x,dx = x^2 + C,
onde C é a constante de integração.

Passo 6

Isolamos y:
y = x^2 + Cx = x + Cx
Agora aplicamos a condição inicial y(1)=0:
0 = 1 + C Rightarrow C=-1
Assim obtemos a solução particular.

Resposta

y = x - tfrac1x

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