Resolva as equações: m y'' - 3 y' + 2 y = e^t + e^{2 t}

Passo 1

Então, vamos resolver a equação diferencial . Esse tipo de equação é uma equação diferencial linear de segunda ordem não homogênea. Para resolver, vamos precisar encontrar a solução geral da equação homogênea associada e uma solução particular da equação completa.

Passo 2

Primeiro, vamos resolver a equação homogênea associada: . Para isso, usamos a equação característica, que é uma equação polinomial obtida substituindo na equação homogênea.

Passo 3

A equação característica é dada por:
Vamos resolver essa equação para encontrar os valores de .

Passo 4

Resolvendo a equação quadrática:
Então, as soluções são e .

Passo 5

Com os valores de , a solução geral da equação homogênea é:
onde e são constantes arbitrárias.

Passo 6

Agora, precisamos encontrar uma solução particular para a equação não homogênea . Observando o lado direito, vemos termos semelhantes aos da solução homogênea, então usamos a técnica de coeficientes a determinar com uma multiplicação por .

Passo 7

Assumimos uma solução particular da forma:
onde e são constantes a serem encontradas.

Passo 8

Calculamos as derivadas de :

Passo 9

Substituímos , e na equação original:

Passo 10

Simplificando os termos, agrupamos os coeficientes de e :

Passo 11

Igualando os coeficientes:

Passo 12

Então, a solução particular é:

Passo 13

Finalmente, a solução geral da equação diferencial é a soma da solução homogênea com a solução particular:

Resposta

A solução geral da equação diferencial é:

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