Resolva as equações:
Passo 1
Então, vamos resolver a equação diferencial
. Esse tipo de equação é uma equação diferencial linear de segunda ordem não homogênea. Para resolver, vamos precisar encontrar a solução geral da equação homogênea associada e uma solução particular da equação completa.
Passo 2
Primeiro, vamos resolver a equação homogênea associada:
. Para isso, usamos a equação característica, que é uma equação polinomial obtida substituindo
na equação homogênea.
Passo 3
A equação característica é dada por:
Vamos resolver essa equação para encontrar os valores de
.
Passo 4
Resolvendo a equação quadrática:
Então, as soluções são
e
.
Passo 5
Com os valores de
, a solução geral da equação homogênea é:
onde
e
são constantes arbitrárias.
Passo 6
Agora, precisamos encontrar uma solução particular
para a equação não homogênea
. Observando o lado direito, vemos termos semelhantes aos da solução homogênea, então usamos a técnica de coeficientes a determinar com uma multiplicação por
.
Passo 7
Assumimos uma solução particular da forma:
onde
e
são constantes a serem encontradas.
Passo 8
Calculamos as derivadas de
:
Passo 9
Substituímos
,
e
na equação original:
Passo 10
Simplificando os termos, agrupamos os coeficientes de
e
:
Passo 11
Igualando os coeficientes:
Passo 12
Então, a solução particular é:
Passo 13
Finalmente, a solução geral da equação diferencial é a soma da solução homogênea com a solução particular:
Resposta
A solução geral da equação diferencial é: