Use o teorema da convolução para encontrar f(t).
L^{-1}{s/((s^{2}+4)^{2})}.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão pede para usar o teorema da convolução para encontrar , que é a transformada inversa de Laplace de . Basicamente, precisamos desconstruir essa fração usando o teorema da convolução e calcular a função no tempo.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é o teorema da convolução. Esse teorema nos permite encontrar a inversa do produto de duas funções no domínio de Laplace multiplicando as inversas delas no domínio do tempo e fazendo uma convolução entre elas. Ou seja, se , então:

Passo 3

Agora, vamos identificar as funções e que, quando multiplicadas, nos dão . Podemos reescrever essa expressão como:
Aqui, temos:

Passo 4

Em seguida, vamos encontrar as transformadas inversas de e :

Passo 5

Agora, aplicando o teorema da convolução, temos:

Passo 6

Vamos simplificar a integral:
Usando a identidade trigonométrica :

Passo 7

Integrando termo a termo:
A segunda integral se anula porque a função seno é ímpar em relação a , então o resultado final é:

Resposta

Portanto, a função é:

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