Use o teorema da convolução para encontrar
.
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A questão pede para usar o teorema da convolução para encontrar
, que é a transformada inversa de Laplace de
. Basicamente, precisamos desconstruir essa fração usando o teorema da convolução e calcular a função no tempo.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é o teorema da convolução. Esse teorema nos permite encontrar a inversa do produto de duas funções no domínio de Laplace multiplicando as inversas delas no domínio do tempo e fazendo uma convolução entre elas. Ou seja, se
, então:
Passo 3
Agora, vamos identificar as funções
e
que, quando multiplicadas, nos dão
. Podemos reescrever essa expressão como:
Aqui, temos:
Passo 4
Em seguida, vamos encontrar as transformadas inversas de
e
:
Passo 5
Agora, aplicando o teorema da convolução, temos:
Passo 6
Vamos simplificar a integral:
Usando a identidade trigonométrica
:
Passo 7
Integrando termo a termo:
A segunda integral se anula porque a função seno é ímpar em relação a
, então o resultado final é:
Resposta
Portanto, a função
é: