Resolva as equações matriciais abaixo:
\left(\begin{array}{cc}3 & -4 \\\\ -2 & 3\end{array}\right) \cdot X=\left(\begin{array}{ll}1 & 3 \\\\ 2 & 0\end{array}\right)

Passo 1

O enunciado pede para encontrar a matriz X que satisfaz a equação matricial
\begin{pmatrix}3 & -4 \\[4pt] -2 & 3\end{pmatrix}\cdot X = \begin{pmatrix}1 & 3 \\[4pt] 2 & 0\end{pmatrix}.
Informações dadas:
  • A matriz à esquerda (vou chamar de A) é A=\begin{pmatrix}3 & -4 \\[4pt] -2 & 3\end{pmatrix}.
  • A matriz à direita (vou chamar de B) é B=\begin{pmatrix}1 & 3 \\[4pt] 2 & 0\end{pmatrix}.
    O que se pede: determinar a matriz X tal que A X = B.]

Passo 2

Estratégia (explicação didática do método que vou usar).
Quando temos uma equação matricial do tipo A X = B e a matriz A é invertível (ou seja, existe A^{-1}), podemos multiplicar os dois lados à esquerda por A^{-1} para isolar X:
A^{-1} (A X) = A^{-1} B \quad\Rightarrow\quad X = A^{-1} B.
Aqui é importante entender o que é A^{-1}:
  • A matriz A^{-1} é a inversa de A, e satisfaz A^{-1}A=I, onde I é a matriz identidade.
  • Uma matriz 2\times2 \begin{pmatrix}a & b\\[4pt] c & d\end{pmatrix} tem inversa (quando existir) dada por
\left(\begin{pmatrix}a & b\\[4pt] c & d\end{pmatrix}\right)^{-1}=\dfrac{1}{ad-bc}\begin{pmatrix}d & -b\\[4pt] -c & a\end{pmatrix},
onde ad-bc é o determinante da matriz. Se ad-bc=0, a matriz não é invertível e não poderíamos usar esse método.]

Passo 3

Calcular o determinante de A para verificar se A é invertível.
Para A=\begin{pmatrix}3 & -4\\[4pt] -2 & 3\end{pmatrix}, identifique a=3, b=-4, c=-2, d=3.
O determinante é
\det(A)=ad-bc = 3\cdot 3 - (-4)\cdot(-2).
Calcule passo a passo:
3\cdot 3 = 9,\qquad (-4)\cdot(-2) = 8,
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\det(A)=9-8=1.
Como \det(A)=1\neq 0, a matriz A é invertível e podemos usar X=A^{-1}B.]

Passo 4

Construir a inversa A^{-1} usando a fórmula para 2\times2.
Aplicando a fórmula com a=3, b=-4, c=-2, d=3:
A^{-1}=\dfrac{1}{\det(A)}\begin{pmatrix}d & -b\\[4pt] -c & a\end{pmatrix} =\dfrac{1}{1}\begin{pmatrix}3 & 4\\[4pt] 2 & 3\end{pmatrix}.
Portanto
A^{-1}=\begin{pmatrix}3 & 4\\[4pt] 2 & 3\end{pmatrix}.
(Observação rápida sobre como se obteve: trocou-se a e d, e mudaram-se de sinal b e c; depois dividiu-se tudo pelo determinante.)]

Passo 5

Calcular X=A^{-1}B por multiplicação de matrizes.
Temos
A^{-1}=\begin{pmatrix}3 & 4\\[4pt] 2 & 3\end{pmatrix}, \qquad B=\begin{pmatrix}1 & 3\\[4pt] 2 & 0\end{pmatrix}.
A multiplicação de duas matrizes 2\times2 dá outra 2\times2; cada entrada é combinação linear das linhas da primeira com as colunas da segunda. Vou calcular cada entrada de X explicitamente.
Entrada (1,1) de X:
x_{11}=3\cdot 1 + 4\cdot 2 = 3 + 8 = 11.
Entrada (1,2) de X:
x_{12}=3\cdot 3 + 4\cdot 0 = 9 + 0 = 9.
Entrada (2,1) de X:
x_{21}=2\cdot 1 + 3\cdot 2 = 2 + 6 = 8.
Entrada (2,2) de X:
x_{22}=2\cdot 3 + 3\cdot 0 = 6 + 0 = 6.
Assim
X=\begin{pmatrix}11 & 9\\[4pt] 8 & 6\end{pmatrix}.]

Passo 6

Verificação (sempre boa prática): multiplicar A por X para ver se volta B.
Calcule A X:
A X = \begin{pmatrix}3 & -4\\[4pt] -2 & 3\end{pmatrix}\begin{pmatrix}11 & 9\\[4pt] 8 & 6\end{pmatrix}.
Entradas:
(AX)_{11}=3\cdot 11 + (-4)\cdot 8 = 33 - 32 = 1,
(AX)_{12}=3\cdot 9 + (-4)\cdot 6 = 27 - 24 = 3,
(AX)_{21}=(-2)\cdot 11 + 3\cdot 8 = -22 + 24 = 2,
(AX)_{22}=(-2)\cdot 9 + 3\cdot 6 = -18 + 18 = 0.
Isso reproduz exatamente B=\begin{pmatrix}1 & 3\\[4pt] 2 & 0\end{pmatrix}, então a solução está correta.]

Resposta

\begin{pmatrix}11 & 9\\[4pt] 8 & 6\end{pmatrix}]

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