Determine a solução das seguintes problemas de valor inicial de segunda ordem:
y^{\prime \prime}+y=0, com y(\pi)=1 e y^{\prime}(\pi)=2;

Passo 1

O enunciado pede para determinar a solução da equação diferencial de segunda ordem com condições iniciais dadas. As informações fornecidas são:
  • Equação diferencial: y^{\prime\prime}+y=0.
  • Condições impostas no ponto x=\pi:
    • y(\pi)=1,
    • y^{\prime}(\pi)=2.
O objetivo é encontrar a função y(x) que satisfaça a equação diferencial e essas duas condições.

Passo 2

Vamos escolher um método padrão para resolver equações lineares homogêneas com coeficientes constantes: procurar soluções da forma exponencial \displaystyle y(x)=e^{rx}, onde r é um número (real ou complexo) a determinar. A razão dessa escolha é que derivadas de e^{rx} seguem a mesma forma, o que transforma a equação diferencial numa equação algébrica para r. Este é o método mais direto e habitual para esse tipo de problema.

Passo 3

Substituindo y=e^{rx} na equação \,y^{\prime\prime}+y=0, obtemos a equação característica para r:
r^{2}+1=0.
Resolvendo:
r^{2}=-1\quad\Rightarrow\quad r=\pm i,
onde i é a unidade imaginária ( i^{2}=-1). Quando as raízes da equação característica são complexas conjugadas \alpha\pm i\beta (aqui \alpha=0 e \beta=1), a solução geral real da equação diferencial é
y(x)=C_{1}\cos(\beta x)+C_{2}\sin(\beta x).
No nosso caso \beta=1, portanto a solução geral é
y(x)=C_{1}\cos x + C_{2}\sin x,
onde C_{1} e C_{2} são constantes reais a determinar pelas condições iniciais. (Breve explicação: isso vem de escrever e^{(\alpha+i\beta)x}=e^{\alpha x}(\cos\beta x + i\sin\beta x) e combinar as partes real e imaginária.)

Passo 4

Para aplicar as condições iniciais precisamos da derivada primeira de y. Calculando:
y^{\prime}(x) = -C_{1}\sin x + C_{2}\cos x.
Agora vamos avaliar y e y^{\prime} no ponto x=\pi. Lembrando os valores trigonométricos fundamentais: \sin\pi=0 e \cos\pi=-1.

Passo 5

Avaliar y(\pi):
y(\pi)=C_{1}\cos\pi + C_{2}\sin\pi = C_{1}(-1)+C_{2}\cdot 0 = -C_{1}.
A condição é y(\pi)=1, logo
-C_{1}=1\quad\Rightarrow\quad C_{1}=-1.

Passo 6

Avaliar y^{\prime}(\pi):
y^{\prime}(\pi) = -C_{1}\sin\pi + C_{2}\cos\pi = -C_{1}\cdot 0 + C_{2}(-1) = -C_{2}.
A condição é y^{\prime}(\pi)=2, portanto
-C_{2}=2\quad\Rightarrow\quad C_{2}=-2.

Passo 7

Substituindo C_{1}=-1 e C_{2}=-2 na solução geral obtemos a solução particular que satisfaz as condições iniciais:
y(x) = -1\cdot\cos x + (-2)\cdot\sin x = -\cos x - 2\sin x.
Podemos fazer uma verificação rápida: usando x=\pi temos y(\pi)=-\cos\pi-2\sin\pi = -(-1)-2\cdot 0 = 1 e y^{\prime}(x)=\sin x -2\cos x então y^{\prime}(\pi)=\sin\pi -2\cos\pi = 0 -2(-1)=2, compatível com as condições.

Resposta

y(x)=-\cos x - 2\sin x

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