Determine a solução das seguintes problemas de valor inicial de segunda ordem:
, com
e
;
Passo 1
O enunciado pede para determinar a solução da equação diferencial de segunda ordem com condições iniciais dadas. As informações fornecidas são:
- Equação diferencial:
- Condições impostas no ponto
: -
O objetivo é encontrar a função
que satisfaça a equação diferencial e essas duas condições.
Passo 2
Vamos escolher um método padrão para resolver equações lineares homogêneas com coeficientes constantes: procurar soluções da forma exponencial
, onde
é um número (real ou complexo) a determinar. A razão dessa escolha é que derivadas de
seguem a mesma forma, o que transforma a equação diferencial numa equação algébrica para
. Este é o método mais direto e habitual para esse tipo de problema.
Passo 3
Substituindo
na equação
, obtemos a equação característica para
:
Resolvendo:
onde
é a unidade imaginária (
). Quando as raízes da equação característica são complexas conjugadas
(aqui
e
), a solução geral real da equação diferencial é
No nosso caso
, portanto a solução geral é
onde
e
são constantes reais a determinar pelas condições iniciais. (Breve explicação: isso vem de escrever
e combinar as partes real e imaginária.)
Passo 4
Para aplicar as condições iniciais precisamos da derivada primeira de
. Calculando:
Agora vamos avaliar
e
no ponto
. Lembrando os valores trigonométricos fundamentais:
e
.
Passo 5
Avaliar
:
A condição é
, logo
Passo 6
Avaliar
:
A condição é
, portanto
Passo 7
Substituindo
e
na solução geral obtemos a solução particular que satisfaz as condições iniciais:
Podemos fazer uma verificação rápida: usando
temos
e
então
, compatível com as condições.