Resolva as equações matriciais abaixo:
\left[\begin{array}{ll}1 & 2 \\\\ 1 & 3\end{array}\right]\left[\begin{array}{ll}a & b \\\ c & d\end{array}\right]\left[\begin{array}{ll}2 & 3 \\\\ 3 & 5\end{array}\right]=\left[\begin{array}{ll}0 & 1 \\\\ 1 & 0\end{array}\right]

Passo 1

O enunciado pede para resolver a equação matricial
\begin{pmatrix}1 & 2 \\[6pt] 1 & 3\end{pmatrix} \begin{pmatrix}a & b \\[4pt] c & d\end{pmatrix} \begin{pmatrix}2 & 3 \\[4pt] 3 & 5\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}0 & 1 \\[4pt] 1 & 0\end{pmatrix}.
O conteúdo aqui é multiplicação de matrizes em cadeia. Vamos usar a definição de produto matricial: o elemento (i,j) do produto é a soma dos produtos dos elementos da linha i da primeira matriz pelos da coluna j da segunda.]

Passo 2

Calculemos primeiro A X, onde
A=\begin{pmatrix}1 & 2 \\[4pt]1 & 3\end{pmatrix}, \quad X=\begin{pmatrix}a & b \\[4pt]c & d\end{pmatrix}.
Pelo produto linha-coluna obtém-se
A\,X = \begin{pmatrix} 1\cdot a + 2\cdot c & 1\cdot b + 2\cdot d \\[6pt] 1\cdot a + 3\cdot c & 1\cdot b + 3\cdot d \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} a+2c & b+2d \\[4pt] a+3c & b+3d \end{pmatrix}.]

Passo 3

Agora multipliquemos (A\,X) pela matriz
B=\begin{pmatrix}2 & 3 \\[4pt]3 & 5\end{pmatrix}.
Denotando
M = A\,X = \begin{pmatrix}M_{11} & M_{12}\\[4pt]M_{21} & M_{22}\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}a+2c & b+2d\\[4pt]a+3c & b+3d\end{pmatrix},
o produto M B é
M\,B = \begin{pmatrix} 2M_{11}+3M_{12} & 3M_{11}+5M_{12} \\[6pt] 2M_{21}+3M_{22} & 3M_{21}+5M_{22} \end{pmatrix}.
Devemos ter M\,B=\begin{pmatrix}0&1\\\ 1&0\end{pmatrix}, ou seja, quatro equações:
\begin{cases} 2(a+2c)+3(b+2d)=0,\\[4pt] 3(a+2c)+5(b+2d)=1,\\[4pt] 2(a+3c)+3(b+3d)=1,\\[4pt] 3(a+3c)+5(b+3d)=0. \end{cases}]

Passo 4

Para simplificar, defina
u = a+2c,\quad v = b+2d,\quad p = a+3c,\quad q = b+3d.
As equações viram dois sistemas 2\times2:
\begin{cases} 2u+3v=0,\\\\ 3u+5v=1, \end{cases} \quad \begin{cases} 2p+3q=1,\\\\ 3p+5q=0. \end{cases}

Passo 5

Resolvendo o primeiro sistema por eliminação:
Multiplique 2u+3v=0 por 3 e 3u+5v=1 por 2, subtraia e obtenha
v=2,\quad u=-3.
No segundo sistema faça o mesmo processo e encontra-se
q=-3,\quad p=5.

Passo 6

Volte às definições de u,v,p,q. De p-u=(a+3c)-(a+2c)=c tem-se
c = p - u = 5 - (-3) = 8,
e de u = a+2c decorre
a = u - 2c = -3 - 2\cdot 8 = -19.
Do mesmo modo, de q-v=(b+3d)-(b+2d)=d vem
d = q - v = -3 - 2 = -5,
e de v = b+2d segue
b = v - 2d = 2 - 2\cdot(-5) = 12.

Resposta

a=-19,\quad b=12,\quad c=8,\quad d=-5.

Exercícios relacionados