Resolva as equações: n * u'' + omega0^2 * u = cos(omega), omega^2 != omega0^2

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem uma equação diferencial do tipo , onde n e omega_0 são constantes, e omega^2 != omega_0^2. O conteúdo que vamos usar é a resolução de equações diferenciais lineares de segunda ordem com termos constantes. Precisaremos encontrar a solução geral, que inclui a solução da equação homogênea e uma solução particular para o lado direito que é .

Passo 2

Primeiro, vamos resolver a equação homogênea associada: . Para isso, assumimos uma solução do tipo . Substituindo na equação, temos:
Como nunca é zero, basta resolver , ou seja:
Isso nos dá soluções complexas, então a solução geral da homogênea é:

Passo 3

Agora, vamos encontrar uma solução particular para a equaç��o completa. Como o termo não homogêneo é , tentamos uma solução particular da forma:
Derivando, temos:
Substituindo na equação original:
Agrupando os termos:
Isso nos dá um sistema de equações:
Resolvendo, temos:
Então, a solução particular é:

Resposta

A solução geral da equação é:
onde C1 e C2 são constantes arbitrárias.

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