Encontre F(s) ou f(t).
L^{-1}((1+e^{-2s})^{2}/(s+2)).

Passo 1

Beleza, vamos resolver o exercício que pede para encontrar a transformada inversa de Laplace de . Isso envolve o conteúdo de Transformadas de Laplace, que é uma ferramenta usada para resolver equações diferenciais transformando funções do tempo para o domínio da frequência. Para resolver, vamos precisar expandir o numerador e usar algumas propriedades das transformadas de Laplace.

Passo 2

Primeiro, vamos expandir o numerador . Fazendo a multiplicação:

Passo 3

Agora, substituímos essa expansão de volta na expressão original:

Passo 4

Vamos encontrar a transformada inversa de cada termo individualmente. A transformada inversa de é .
Para o primeiro termo:

Passo 5

Para os termos com , usamos a propriedade de deslocamento no tempo: , onde é a função degrau de Heaviside.
Para o segundo termo:

Passo 6

Para o terceiro termo:

Resposta

Finalmente, somando todos os termos, a transformada inversa é:

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