Resolva as equações.
\sqrt{9 x^{2}-2}-3 x=4

Passo 1

O que o enunciado dá e o que pede:
  • É dada a equação \sqrt{9x^{2}-2}-3x=4.
  • O objetivo é encontrar todos os valores reais de x que satisfazem essa equação.
Informações relevantes extraídas do enunciado:
  • Aparece uma raiz quadrada \sqrt{9x^{2}-2}, então o radicando 9x^{2}-2 precisa ser maior ou igual a zero para que a expressão faça sentido.
  • A raiz quadrada retorna um número não negativo, isto é, \sqrt{9x^{2}-2}\ge 0.
  • Quando isolarmos a raiz e igualarmos a alguma expressão, essa expressão deve ser não negativa antes de elevamos ao quadrado (para evitar criar soluções extranhas).

Passo 2

Determinar a condição de existência da raiz (domínio pelo radicando).
A condição é
9x^{2}-2\ge 0.
Resolvendo:
9x^{2}\ge 2
x^{2}\ge \frac{2}{9}
|x|\ge \frac{\sqrt{2}}{3}.
Isto significa que só valores de x com |x|\ge \dfrac{\sqrt{2}}{3} podem ser candidatos a solução. Mas ainda precisamos resolver a equação propriamente dita e verificar se as soluções obtidas respeitam essa condição.

Passo 3

Isolar a raiz e impor a condição de não negatividade do lado direito antes de elevar.
Isolando a raiz:
\sqrt{9x^{2}-2}=4+3x.
Como a raiz é não negativa, é necessário que
4+3x\ge 0,
ou seja
x\ge -\frac{4}{3}.
Portanto, qualquer solução precisa satisfazer simultaneamente |x|\ge \dfrac{\sqrt{2}}{3} e x\ge -\dfrac{4}{3}.

Passo 4

Elevar ao quadrado os dois lados (agora que o lado direito é exigido não negativo) e simplificar.
A partir de
\sqrt{9x^{2}-2}=4+3x
elevando ao quadrado:
9x^{2}-2=(4+3x)^{2}.
Expandindo o quadrado à direita:
9x^{2}-2=16+24x+9x^{2}.
Agora subtrai-se 9x^{2} dos dois lados:
-2=16+24x.
Isolando x:
24x=-18
x=-\frac{18}{24}=-\frac{3}{4}.

Passo 5

Verificar se x=-\dfrac{3}{4} satisfaz as condições e a equação original (checagem de extranos gerados ao elevar ao quadrado).
Primeiro verificar o radicando:
9x^{2}-2=9\left(-\frac{3}{4}\right)^{2}-2=9\cdot\frac{9}{16}-2=\frac{81}{16}-\frac{32}{16}=\frac{49}{16}\ge 0.
Portanto a raiz existe. Calcular a raiz:
\sqrt{9x^{2}-2}=\sqrt{\frac{49}{16}}=\frac{7}{4}.
Calcular o lado esquerdo da equação original:
\sqrt{9x^{2}-2}-3x=\frac{7}{4}-3\left(-\frac{3}{4}\right)=\frac{7}{4}+\frac{9}{4}=\frac{16}{4}=4.
Isso coincide com o lado direito da equação original. Além disso, x=-\dfrac{3}{4} satisfaz x\ge -\dfrac{4}{3} e |x|\ge \dfrac{\sqrt{2}}{3}, portanto é uma solução válida e não é extrana.

Passo 6

Conclusão e observação final: a única solução real obtida após elevar ao quadrado foi x=-\dfrac{3}{4}, e a verificação mostra que não é extrana. Logo este é o único valor que resolve a equação.

Resposta

\displaystyle x=-\frac{3}{4}

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