Resolva as equações.
Passo 1
O que o enunciado dá e o que pede:
- É dada a equação
. - O objetivo é encontrar todos os valores reais de
que satisfazem essa equação.
Informações relevantes extraídas do enunciado:
- Aparece uma raiz quadrada
, então o radicando precisa ser maior ou igual a zero para que a expressão faça sentido. - A raiz quadrada retorna um número não negativo, isto é,
. - Quando isolarmos a raiz e igualarmos a alguma expressão, essa expressão deve ser não negativa antes de elevamos ao quadrado (para evitar criar soluções extranhas).
Passo 2
Determinar a condição de existência da raiz (domínio pelo radicando).
A condição é
A condição é
Resolvendo:
Isto significa que só valores de
com
podem ser candidatos a solução. Mas ainda precisamos resolver a equação propriamente dita e verificar se as soluções obtidas respeitam essa condição.
Passo 3
Isolar a raiz e impor a condição de não negatividade do lado direito antes de elevar.
Isolando a raiz:
Isolando a raiz:
Como a raiz é não negativa, é necessário que
ou seja
Portanto, qualquer solução precisa satisfazer simultaneamente
e
.
Passo 4
Elevar ao quadrado os dois lados (agora que o lado direito é exigido não negativo) e simplificar.
A partir de
A partir de
elevando ao quadrado:
Expandindo o quadrado à direita:
Agora subtrai-se
dos dois lados:
Isolando
:
Passo 5
Verificar se
satisfaz as condições e a equação original (checagem de extranos gerados ao elevar ao quadrado).
Primeiro verificar o radicando:
Primeiro verificar o radicando:
Portanto a raiz existe. Calcular a raiz:
Calcular o lado esquerdo da equação original:
Isso coincide com o lado direito da equação original. Além disso,
satisfaz
e
, portanto é uma solução válida e não é extrana.
Passo 6
Conclusão e observação final: a única solução real obtida após elevar ao quadrado foi
, e a verificação mostra que não é extrana. Logo este é o único valor que resolve a equação.