Resolva as equações.
Passo 1
O enunciado pede para resolver a equação
Informações dadas e o que é pedido:
- Temos uma raiz quadrada
, portanto a expressão dentro da raiz deve ser não negativa. - A incógnita é
(procuramos os valores reais de que satisfazem a equação). - A tarefa é encontrar todos os
que tornam a igualdade verdadeira.
Passo 2
Determinar a condição de existência (domínio) imposta pela raiz quadrada.
A expressão dentro da raiz deve satisfazer
Vamos resolver essa desigualdade: escrevendo-a como
, dividindo por
(positivo) obtemos
. Isso implica
Ou seja, apenas valores de
com
podem ser candidatos.
Passo 3
Usar uma propriedade importante da raiz quadrada:
fornece sempre um número não negativo.
Na equação original a esquerda é
. Como
, então
. Pelo lado direito temos
. Portanto, para que a igualdade valha é necessário que
ou seja
Combinar com o domínio do Passo 2 dá a restrição final para candidatos:
(Comentário didático: é comum em equações com radicais isolar o radical e exigir que o lado oposto seja não negativo antes de elevar ao quadrado, para evitar falsos candidatos.)
Passo 4
Isolar o radical e elevar ao quadrado (com cuidado para não introduzir soluções extranhas sem checagem).
Isolando a raiz:
Como fizemos no Passo 3, já sabemos que para soluções reais devemos ter
, e portanto é lícito elevar ambos os lados ao quadrado (mantendo em mente que isso pode criar soluções extranhas que depois teremos que verificar). Elevando ao quadrado:
Passo 5
Desenvolver a equação quadrática resultante e resolver.
Calcule o quadrado no lado direito:
Igualando com o lado esquerdo:
Subtrai-se
de ambos os lados para simplificar:
Passando
para o outro lado:
Dividindo por
:
Assim obtemos
como candidato a solução.
Passo 6
Verificar o candidato na equação original (verificação é obrigatória porque elevamos ao quadrado).
Substituindo
em
:
O lado direito é
. Logo a igualdade fica
, verdadeira. Além disso
satisfaz a condição
do Passo 3, então é uma solução válida.
(Comentário didático: às vezes, após elevar ao quadrado, aparecem soluções que não satisfazem a equação original — por isso sempre testar. Aqui não houve solução extrânea.)