Resolva as equações.
\sqrt{4 x^{2}-1}+1=2 x

Passo 1

O enunciado pede para resolver a equação
\sqrt{4x^{2}-1}+1=2x.
Informações dadas e o que é pedido:
  • Temos uma raiz quadrada \sqrt{4x^{2}-1}, portanto a expressão dentro da raiz deve ser não negativa.
  • A incógnita é x (procuramos os valores reais de x que satisfazem a equação).
  • A tarefa é encontrar todos os x\in\mathbb{R} que tornam a igualdade verdadeira.

Passo 2

Determinar a condição de existência (domínio) imposta pela raiz quadrada.
A expressão dentro da raiz deve satisfazer
4x^{2}-1 \ge 0.
Vamos resolver essa desigualdade: escrevendo-a como 4x^{2}\ge 1, dividindo por 4 (positivo) obtemos x^{2}\ge \tfrac{1}{4}. Isso implica
x \le -\tfrac{1}{2}\quad\text{ou}\quad x \ge \tfrac{1}{2}.
Ou seja, apenas valores de x com |x|\ge \tfrac{1}{2} podem ser candidatos.

Passo 3

Usar uma propriedade importante da raiz quadrada: \sqrt{\cdot} fornece sempre um número não negativo.
Na equação original a esquerda é \sqrt{4x^{2}-1}+1. Como \sqrt{4x^{2}-1}\ge 0, então \sqrt{4x^{2}-1}+1 \ge 1. Pelo lado direito temos 2x. Portanto, para que a igualdade valha é necessário que
2x \ge 1,
ou seja
x \ge \tfrac{1}{2}.
Combinar com o domínio do Passo 2 dá a restrição final para candidatos:
x \ge \tfrac{1}{2}.
(Comentário didático: é comum em equações com radicais isolar o radical e exigir que o lado oposto seja não negativo antes de elevar ao quadrado, para evitar falsos candidatos.)

Passo 4

Isolar o radical e elevar ao quadrado (com cuidado para não introduzir soluções extranhas sem checagem).
Isolando a raiz:
\sqrt{4x^{2}-1}=2x-1.
Como fizemos no Passo 3, já sabemos que para soluções reais devemos ter 2x-1\ge 0, e portanto é lícito elevar ambos os lados ao quadrado (mantendo em mente que isso pode criar soluções extranhas que depois teremos que verificar). Elevando ao quadrado:
4x^{2}-1=(2x-1)^{2}.

Passo 5

Desenvolver a equação quadrática resultante e resolver.
Calcule o quadrado no lado direito:
(2x-1)^{2}=4x^{2}-4x+1.
Igualando com o lado esquerdo:
4x^{2}-1=4x^{2}-4x+1.
Subtrai-se 4x^{2} de ambos os lados para simplificar:
-1=-4x+1.
Passando 1 para o outro lado:
-1-1=-4x \quad\Rightarrow\quad -2=-4x.
Dividindo por -4:
x=\tfrac{1}{2}.
Assim obtemos x=\tfrac{1}{2} como candidato a solução.

Passo 6

Verificar o candidato na equação original (verificação é obrigatória porque elevamos ao quadrado).
Substituindo x=\tfrac{1}{2} em \sqrt{4x^{2}-1}+1:
\sqrt{4\left(\tfrac{1}{2}\right)^{2}-1}+1=\sqrt{4\cdot\tfrac{1}{4}-1}+1=\sqrt{1-1}+1=\sqrt{0}+1=0+1=1.
O lado direito é 2x=2\cdot\tfrac{1}{2}=1. Logo a igualdade fica 1=1, verdadeira. Além disso x=\tfrac{1}{2} satisfaz a condição x\ge \tfrac{1}{2} do Passo 3, então é uma solução válida.
(Comentário didático: às vezes, após elevar ao quadrado, aparecem soluções que não satisfazem a equação original — por isso sempre testar. Aqui não houve solução extrânea.)

Resposta

x=\dfrac{1}{2}

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